modern design 003

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1、现代设计方法宁夏大学机械工程学院朱学军ModernDesignMethodology第三章优化设计一、概述1.运筹学与最优化理科：运筹学（OPERATIONSRESEARCH）工科：最优化（OPTIMIZATION）运筹学范畴比较固定，是一门基础学科。最优化是一个泛指，不是一门独立的学科。运筹一词取自：《史记-高祖本纪》运筹帷幄之中，决胜于千里之外“汉书-张良传”——运筹帷幄中，决胜千里外。第三章优化设计一、概述1.运筹学与最优化：运筹学的主要内容线性规划非线性规划整数规划动态规划多目标规划随机规划模糊规划等图与网络理论存储论排队论决策论对策论排序与统筹方法可靠

2、性理论等第三章优化设计一、概述2.最优化与优化设计最优化的概念使问题的解决在一定程度上达到无可争议的完善化。优化设计以计算机为工具，运用数学规划理论寻求复杂设计问题最佳方案的现代设计方法。优化设计的主要内容•分析对象，建立正确的数学模型；•选择适当的优化方法，应用计算机求解。构成模型的三大要素：•设计变量：在设计过程中需不断修正、一直处于变化状态的基本参数，直接决定设计质量。•约束条件：一个可行设计必须满足的限制条件。按性质分为：性能约束；侧面约束（边界约束）按表达式分为：等式约束；不等式约束•目标函数：使设计得以优化的函数，又称评价函数。一、概述3.优化设计的

3、数学模型一、概述3.优化设计的数学模型建立数学模型的步骤•分析优化对象•分析结构诸参数，确定设计变量•确定并构造目标函数和约束条件•对数学模型规范化数学模型的一般表达式：求OptminS.T.一、概述4.优化设计建模示例某工厂生产甲٠乙两种产品。生产甲产品需3个工时，9kg材料，4KW电，可产生60元利润；生产乙产品需10个工时，8kg材料，6KW电，可产生120元利润。现每天提供材料360kg，工时300个，电200KW。问：每天生产甲乙两种产品各多少件，利润最大？分析：目标函数：利润F(x)→max设计变量：甲乙工件的个数（x1,x2)约束条件：工时约束（≤

4、300）；材料约束(≤360）；电力约束（≤200）一、概述5.求解优化设计问题的基本方法6.优化设计的迭代终止准则解析解法：利用微分或变分法求解精确理论解数值解法：利用数学规划理论求解•中心思想：搜索，迭代，逼近•迭代公式：近似解一、概述数值解法的程序流程二、优化设计的数学基础1.目标函数的等值线（面）可计算函数等值线（面）：目标函数在设计空间中的投影等值线（面）的性质：•等值线的分布规律代表函数值的变化规律•一族有中心的等值线，中心即为极值点•二维（等值线）；三维（等值面）；三维以上超等值面）二、优化设计的数学基础1.目标函数的等值线（面）：与设计空间、可行

5、域的关系二、优化设计的数学基础2.偏导数、方向导数、梯度偏导数（；）：是目标函数沿某一坐标轴方向函数值的变化率。方向导数（）：是目标函数在设计空间任意点p处，沿任意方向S的函数值变化率。梯度（）：•是由目标函数一阶偏导数组成的列向量；•是等值线上某点处的法线方向，也是方向导数取最大值的方向•是目标函数值变化最快的方向。二、优化设计的数学基础2.偏导数、方向导数、梯度梯度、方向导数的关系示例：求在处的梯度和方向导数的最大值。二、优化设计的数学基础3.多元函数的Taylor展开式一元函数在某点处的泰勒展开式其中称为Lagrangain余项多元函数在某点处的泰勒展开式

6、其中：H（X）称为HESSIAN矩阵是由目标函数的二阶偏导数组成的对称方阵。二、优化设计的数学基础4.无约束求取极值的充要条件必要条件：充分条件：正定即：要求HESSIAN矩阵的行列式，各阶主子式的值大于零。例：求的极小值。正定且故二、优化设计的数学基础5.凸集、凸函数和凸规划定义：对任意的一个集合R，若且有时，等式，则称R为一凸集。几何意义：任意集合R中，若任意两点连线上的所有元素均属于集合R，则称R为一凸集。凸集：二、优化设计的数学基础5.凸集、凸函数和凸规划凸函数定义：若f(x)是定义在设计空间的某一凸集Rn上，且有，若成立，则称f(x)是一凸函数。几何含

7、义：xbx2ax1x二、优化设计的数学基础5.凸集、凸函数和凸规划函数凸性的判断：利用不等式判断：若Rn为凸集，有任意的x1∈Rn，x2∈Rn，且不等式恒成立，则f(x)是定义在Rn上的凸函数。若成立，则f(x)是严格凸函数。利用Hessian矩阵判断：若Rn为凸集，f(x)具有连续二阶偏导数，且H(x)半正定（即:H(x)各阶主子式的值均大于等于0），则f(x)是定义在Rn上的凸函数。若Hessian矩阵H(x)正定（即H(x)各阶主子式的值均大于0），则f(x)是定义在Rn上的严格凸函数。★例：试判断是否为凸函数，其中二、优化设计的数学基础5.凸集、凸函数和

8、凸规划凸规划：目标函数、