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时间:2019-11-07
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1、高斯求和讲解高斯求和讲解 1+2+3+4+…+99+100=?高斯求和讲解5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现: 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。 1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为 (1+100)×100÷2=5050。 小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如: (1
2、)1,2,3,4,5,…,100; (2)1,3,5,7,9,…,99; (3)8,15,22,29,36,…,71。 其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2。例11+2+3+…+1999=?分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。4/4 注意:利用等差数列求
3、和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例211+12+13+…+31=?分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。 原式=(11+31)×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=(末项-首项)÷公差+1,末项=首项+公差×(项数-1)。例33+7+11+…+99=?分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列, 项数=(99-3)÷4+1=25, 原式=(3+99)×25÷2=1275。例4求首
4、项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解:末项=25+3×(40-1)=142, 和=(25+142)×40÷2=3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?4/4 分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表: 由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。解:(1)最大三角形面积为 (1+3+5+…+15)×12 =[(1+
5、15)×8÷2]×12 =768(厘米2)。 (2)火柴棍的数目为 3+6+9+…+24 =(3+24)×8÷2=108(根)。 答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?分析与解:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了 2×1+2×2
6、+…+2×10 =2×(1+2+…+10) =2×55=110(只)。 加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。 综合列式为:4/4 (3-1)×(1+2+…+10)+3 =2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。 4/4
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