2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题3 数列 第1讲 小题考法——等差数列与等比数列学案

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1、第1讲　小题考法——等差数列与等比数列一、主干知识要记牢1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和公式Sn＝＝na1＋d(1)q≠1，Sn＝＝；(2)q＝1，Sn＝na12.判断等差数列的常用方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn

2、＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．二、二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an．(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)

3、⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd．(3)连续k项的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝．(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝．2．等比数列的重要规律与推论(1)an

4、＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an．(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q．(5)对于等比数列前n项和Sn，有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；②＝(q≠±1)．三、易错易混要明了已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n

5、＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1．考点一　数列的递推公式由an与Sn的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2．(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝1．(2018·潍坊二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝－n2－n，则数列的前40项的

6、和为(　D　)A．B．－C．D．－解析　根据Sn＝－n2－n，可知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2－n－[－(n－1)2－(n－1)]＝－2n，当n＝1时，a1＝S1＝－2，上式成立，所以an＝－2n，所以＝－＝－，所以其前n项和Tn＝－＝－＝－，所以其前40项和为T40＝－，故选D．2．(2018·齐齐哈尔二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S4＝30，n≥2时，an＋1＋an－1＝2(an＋1)，则{an}的通项公式an＝__n2__．解析　由an＋1＋an－1＝2(an＋1)得an＋

7、1－an＝an－an－1＋2(n≥2)．又a3＋a1＝2(a2＋1)＝10，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝14＋a4＝30，∴a4＝16．又a4＋a2＝2(a3＋1)，∴a3＝9，∴a1＝1，∴a2－a1＝3，∴数列{an＋1－an}是首项为3，公差为2的等差数列，∴an－an－1＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋1＝n2，又a1＝1满足上式，∴an＝n2(n∈N*)．考点二　等差、等比

8、数列的基本运算等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．1．(2018·南充三联)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，则a1－a2－a3－a4＝(　D　)A．－14B．－9C．11D．16解析　等差数列{an}中，a1＝1