动态几何在几何上的运用

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1、動態幾何在數學上的運用第-•單元TS數圖形的繪製的應用高中的數學教材中，有相當的篇^6是討論基本初等函數的性質‘利用GSP我們可以繪製基本函數圖形，並且變勤函數中的參數來察圖形的變化情形'這對於數學的學翟會有相當的助益。(A)繪製函數圖形的方法:繪製函數圖形的關鍵在於如何建立坐標系'並且建立自變數x在數線上移動的情形'利用x去求出點U»)再形成軌跡圖形，即爲)-/々)的圖形。我們提供兩個方法:方法一：⑴打開一個新的gsp檔，選擀Graph］選單中的［ShowGrid］。螢幕上出現直角坐標系，將原點的標籤由A改爲O，單位點B

2、改爲1。⑵在兀斂上任取一點C，選擇［Measure］選單中的［Coordinate］求出C的坐標。(3)用滑鼠鑿擊點C，會出現一個計算機，再用滑鼠出現點C的橫坐標丸，點C的橫坐標被分離出來'這稱爲分離點C的橫坐標。⑷再用［Measure］中的［Calculate］計算夬疋)的値，分別指定处、7Uc)的値，當成®坐標?再利用［Graph］中的［PlotAs(兀,刃］形成軌跡點°(5)再將軌跡點形成軌跡，即爲尸/⑴的形。方法二:(1)打開一個新的gsp檔，建立一條直線L，在L上取一點0，再作L的垂線M。(2)在L上分別取兩點A

3、、B，按住［Shift］選取O、A、B，不要放開［Shift］，在［Measure］選單中，選取［Ratio］，則會出現焉的値，移動B點，器的値可以看成是B的坐標，而A點可以視爲是單位點。⑶以0爲旋轉中心，將A點籌90，得到C點，此時C點可以視爲y铀上的單位點。(4)再用［Measure］中的［Calculate］計算夬誓)的値，以O爲伸縮中心，將C點以/(焉)的比例伸縮至Q點，在將Q點沿向量0B平移至P點，P點即爲尸沧)的軌跡點。⑸選取B點、直線L、P點形成軌跡'即爲尸心)的圖形。［例題1］利用GSP繪製冃⑴*-3/的圖

4、形。［請參考範例二］[例題2]隨著a的變化，請利用GSP繪製尸川-3/的圖形。[請參考範例IF/7V了0原理：符號函數sgn(x)的鹿用：sgn(x)=0,兀=0，由分段函數的意義，可以知道，-1,x<0■當時，夬兀)="+0・[1-(兀-1)2]»當t

5、(%)=1如果找到了,那麼fix)=g(x)-x1+h(xy[1-(x-1)2]°如何找g(Q、〃(x)呢?這就與符號函數㈣⑴有關了！(練習1)利用GSP繪製.心)*-3”-兀+3的圖形。(練習2)設試著用GSP作出一個形，其中。是可以變化的，藉由Q的變化可以去觀察｝=ax4-3x3-x的圖形的變化。(練習3)畫-個分段函數何*二a

6、［Trace］，讓軌跡點動態呈現，也可以直接使用［Construct］中的［Locus］®接產生軌跡圖形。至於如何由動點來產生軌跡點，這就必須要靠數學知識與一些巧思。3［例題4］給定平面上兩定點A、B，平面的點P上滿足PAp.PB，試利用GSP晝出P點的軌跡圖形。［分析］:(1)在頁線AB上滿足這個條件的點肓幾個呢？(2)數學知識：內分比、外分比性質。(1)找動點的方法:［例題5］平面上，有一直線L，與不在L上的一點F；利用GSP畫出平面上滿足d(P.L)=PF的點P所成的軌跡圖形。［分析］:⑴取L上的動點C‘如何由C點找

7、P點呢?(2)最簡單的情形是先找一點P，使得PC=PF，因此P點必落在CF的中垂線上。⑶因爲PC=PF，而如何能讓PC=d(P,L)呢？除^PCIL，故P必須在過C垂直L的直線上。(1)由(2)(3)可以知道P必須在CF的中垂線與過C垂直L的直線上，因此P爲兩者的交點。⑸讓C點在L上移勤，則P的軌跡即爲所求。."［例題6］平面上，有一直線L，與不在L上的一點F；利用GSP畫出平面上滿足両=

8、•d(P・L)的點P所成的軌跡圖形。［分析］:⑴取L上的動點C，如何由C點找P點呢?(2)根據條件先找一點P點使得PF=

9、・PC，這個

10、問題與例題4是一樣的，因此你可以用前面的方法，得知P點會落在一個圓O上。3(3)如果做到了PF二尹C，而如何能讓PC=d(P,L)呢？除非PC丄L，故P必須在過C垂直L的直線上。⑷由⑵(3)的分析，可知P點爲O與過C垂頂L的直線的交點。(2)讒C點在L上移勤，則P的軌跡即爲所求。［例題刀(a)設圓內部有