幂级数在高等数学中的运用

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1、学科分类号（二级）110.34YUNNANNORMALUNIVERSITY题姓学院、专目关于幕级数在高等数学中的应用本科学生毕业论文（设计）名号系业指导教师职称（学历）关于幕级数在高等数学中的应用摘要：幕级数是一类简单-的函数项级数，其简单的结构形式和和特殊性质使之成为i种冇效的计算工具，本选题将从介绍幕级数的相关知识着手，通过在高等数学中应用的一些典型例子对幕级数在不同问题中的应用进行分析与比较，总结不同的问题中应用了幕级数哪方面特殊性质，怎么样应用的问题•从而让我们能在不同的角度、不同的问题屮更好地

2、把握幕级数，应用幕级数的相关知识来解决我们遇到的问题.关键词：幕级数逐项可导与逐项可积；幕级数展开式；构造幕级数1引言由幕级数列所产生的函数项级数Xa^x-x.）1"称为幕级数，是一类最简单的m=0函数项级数，是高等数学中一个非常重要的内容•其简单的结构形式和逐项可导、逐项可积的性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式等问题中.巧妙地利用函数幕级数展开式及幕级数的性质能够把一个复杂的问题以及一些不容易把握的函数表达成比较简单，比较直观的级数形式，用它解题往往思

3、路清晰条理清楚.函数项级数在《数学分析》教材中占有很大的比重，作为一类特殊的函数项级数的幕级数也不例外•关于幕级数在高等数学屮的运用，前人站在不同角度，从不同的方向给出了很多研究成果.比如：2004年在文献［1］中WalterRudin阐述了幕级数的理论知识；2007年在文献［2］屮欧阳光中等在数学分析（下册）中进一步阐述了幕级数的相关知识并给出了幕级数在求极限、求导数中的一些应用的例了；2006年在文献［3］中裴礼文就数学分析中的典型问题及所用方法进行了详细的分析，关于幕级数的应用同样也列举了不少经典

4、的问题进行分析；2003年在期刊［4］中许宏文利用幕级数进行函数值近似计算以及复杂函数暴级数展开的方法，并对一些函数值的近似计算结果与数学用表进行了比较；2011年在期刊［5］中朱明星利用幕级数的重耍性质归纳总结了幕级数在计算中的几个应用，并结合例题阐述了幕级数在各个方面应用屮的技巧和方法；2009年在期刊⑹屮宋明亮通过例了总结和研究了高等数学中函数的幕级数展开的各种常用方法和一些特殊方法；2011年在期刊［7］中苏化明、潘杰以部分国内外数学竞赛题为例研究了幕级数方法在证明不等式方而的应用；2005年在

5、期刊［8］屮王威通过求解一类丢番图方程解的个数,介绍了生成函数的构造方法和技巧，从而以幕级数作为生成函数，介绍了它在组合概率计算中的应用；2006年在期刊［9］屮周海兵、张欣星着重论述了利用幕级数的分析性质解决数学分析中一些问题的应用；2006年在期刊［10］中葛立、郭运瑞和赵营峰根据sin兀的幕级数展开式和莱布尼茨定理,利用反证法证明了当加为非零整数时,sin丄为无理数；2005年在期刊［11］中研m究了通过幕级数的和函数求数列的极限与数项级数的和.在这些文献中对给出的问题的解决不少都使用了幕级数的同

6、一个特征或性质，都没有一个系统的分析和总结.本论文将介绍幕级数在高等数学的不同问题中的一些应用，分析并总结在这些不同的问题屮应用了幕级数哪方面特殊性质，怎么样应用的问题.很多问题我们看似不同，其实解决的方式却是一样的.木选题将通过举例，把幕级数的特殊性质运用于不同的例子中进行分析和比较，通过归纳总结，让我们对幕级数的理论知识有一个更清晰地认识和把握，加深对幕级数运用“广泛性”的认识.一方而让我们能更好、更熟练地利用好幕级数这一冇力的计算工具轻松解决不同的问题；另一方面加深我们对幕级数甚至整个函数项级数的

7、理解和应用，使我们了解更多数学历史，体会数学发展的伟大贡献•同时也希望通过该论文的撰写使更多老师、同学们多多重视这一工具，真止达到熟练运用.由于我们求解的高等数学中的很多数学问题都渗透着多种数学思想方法，求解过程中往往方法多，灵活度大，技巧性强，致使我们在面对这些问题时束手无策.但有不少可以应用幕级数的相关知识求解，在这些问题中应用幕级数哪方面的的特殊性质，怎么样运用就显得尤为重要.通过木选题的研究从木质上认识幕级数以及幕级数的特殊性质，初步探究幕级数相关性质的一些应用，分析并总结在这些不同的问题屮应用

8、了泵级数哪方面的特殊性质，怎么样运用的问题.从而让我们能在不同的角度、不同的问题屮更好地把握幕级数，运用幕级数的相关知识来解决我们遇到的问题.2幕级数及其相关性质设幕级数乞仏才在(-/?,/?)内的和函数SC0,则有下列性质⑴：m=0幕级数的和函数S(x)在其收敛区间(-/?,/?)内是连续的，若幕函数在x=R(或x=-R)也收敛，则S(x)在x=R处左连续(或在x=-R处右连续)；幕级数的和函数Sd)在其收敛区间(—R,R)内有连续的导数