浅谈斜率公式在求值中的应用

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1、浅谈斜率公式在求值中的应用福建省云霄第一中学何惠超手机：13960071246摘要：高中数学具有较强的逻辑思维能力，其中求取值范围的题目占有相当的比例，其涵盖函数，解几等部分，而一些题口通过转化为斜率公式进行解答，经常能达到事半功倍的效果。关键词：斜率公式通过高屮数学人教A版必修2第三章《直线方程》的学习，我们知道肓线倾斜角和斜率都是反映玄线相对于x轴止向的倾斜程度的量，倾斜角是从“形”方面反映这种倾斜程度，斜率是从“数”方面刻画这种倾斜程度。而斜率公式则是将斜率处标化，根据正切函数的性质可知，当肓线

2、倾斜角gw[0°,90°)时，斜率k随q的增人而增大，当«g(9Oo,18Oo)时也是如此。因此我们可以通过倾斜角的变化范围得出斜率的取值范围。在一些求取值范围的题冃中,利用数形结合思想，运用直线斜率，常可取到化繁琐为简单的效果。下而是本人平吋教学的一点体会，总结出來供大家参考，不足之处，请予以指正。下面先通过例1,例2的求解发现其中的某些规律。例1：过点P(-1,2)作直线L,若L与连接A(・2,・3),B(3,O)的线段总有交点，求直线L的斜率R的取值范围。--1+2~而过点P11与X轴乖直的总线

3、PC斜率不存在解：L当L由PA变化到PC时，倾斜角越来越人，R也越來越大:.k>5当L由PC变化到PB时，倾斜角越來越人，「也越來越人因此可得R的取值范F处k€例2：过点P(0,-1)作直线L,若L与连接A(l,・2),B(2,l)的线段总有交点,找出直线L的倾斜角&与斜率R的取值范围，并说明理由。(人教A版必修2课本P9()B组6)-2+11-0k解:=1而过点PH.斜率不存在直线即为Y轴,类似例1的方法可求ill^e[-l,l]・••当Jte[-1,0]时，aw[135°,180°)当k€[0,1

4、]时，ctg[0°,450]从例1,例2的解题过程中，不难发现存在以下规律：如下图，设直线PA,PB的斜率分别为心，灯，过PJVj线段AB必冇交点的直线L的斜率为(1)若过点P垂直于X轴的直线与线段AB有交点，贝％的取值范围：kk2,(2)若过点P垂宜于X轴的玄线与线段AB无交点，贝％的取值范I韦]：k2

5、3时，求丄的最大值与最小值。分析：为了利用斜率，应作恒等变形丄二丄二即上可以看成过原点的直线OP的斜率，其中(x,y)xx-0x为线段AB上动点P的朋标。解：如图，由于点P(x,y)满足2x+y=8,H2

6、大值与最小值。x+2分析：木题可利用分离常数法求解，但从另一角度看，4的几何意义就是过点P(-2,-3)与动点x+2(X,y)的直线的斜率，而y=/—2x+2(—lSxSl)是一段抛物线的图像AB上一点(x,y)与定点P(-2,-3)连线的斜率。解：由匸空的儿何意义可知，上三表示曲线段AB上一动点(x,y)与定x+2x+2点P(・2,・3)连线的斜率。•・•过点P垂直于X轴的直线与曲线段AB无交点由题意可知A(l,l),B(-l,5).4灯人=_勺、kpB-84•••——

7、¥1就表示曲线段D(5,7),其对角线的交点E在第一•象限内且与Y轴的距离为-•个单位,例5：已知矩形ABCD中,A(・4,4),f—B."2)A.—co,—,+co3__3丿(「~2、C.—00,-.4-00D•无法确定13.丄丿解:如图，由题意设E(l,y°)(儿>0)，动点P(x,y)沿矩形一边BC运动，则工的取值范围是由AE=DE得』25+(儿-4)2=J16+(y°-7尸解得儿=4由中点坐标公式得B(・3,1),C(6,4),点P(x,y)在BC±运动,乂过0垂直于垂直于X轴的直线与

8、BC有交点,可知kop»koc或k0PSk0Bx3x3(r"2)—00,——_,+0013」」)答案:C例6：已知实数x,y满足x2+y2=,求加二注的最值x+3解：m=、+I=-——-―—,可知加的最值是点A(-3,-1)少圆x2+y2=1上一动点M(x,y)的连线x+3x—(—3)的斜率的授值，如图可知，当过点A的直线与関相切于Ml时斜率授小，当过点A的直线与圆相切于M2时斜率最人，由点0(0,0)到直线mx-y^3m-=0的距离等于圆的半径，容