浅谈数学的统一性

《浅谈数学的统一性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈数学的统一性陈伟荣(外国语学院德语专业学号:1011493)摘要：正如伽利略所说：大自然是一本书，而这本书的语言是用数学来写的。的确，数学是众多自然科学的基础，它博大精深。而且数学庞大的体系，众多的分支，以及丰富的交叉学科，绝非一般的学科所能比拟的。并且，在如今这个知识爆炸的时代，它还在不断向前发展，向外延伸新的分支。如此庞大的学科要顺利地发展不发生巨大的分裂，其内部必然有着高度的统一性。而这统一性也常常表现在一些简单的实例上。本文将结合几个简单的实例，谈谈关于数学统一性的一些浅显的见识。关键词：学科；数学分支；统一性；联系数学在近代的发展是一部不断产牛新的理论，不断产牛•新

2、的分支，不断与其他学科交融而形成交叉学科的丿力史。从牛顿和莱布尼茨创立微积分开始，Z后就开始出现无数的新兴的分支和理论，比如说：非欧几何、集合论、拓补学、数理逻辑等。据统计，在数学学科的核心范围内，已经冇将近100种口J以辨认的分科。如此Z多的数学分支，各个分支又是相当地高深广博，数学的统一性又是如何体现呢？其实数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和共同的数学语言，更表现在其内在的木质联系。下而，我将结合一些例了来展现这一惊人的统一性以及对它的一点思考。1.牛顿-莱布尼茨公式——不同数学概念统一于同一个公式任何一个略微学习过微积分的人都知道牛顿■莱布尼茨公式。它作为一个突破性的

3、成杲，极大地推动了微积分学的发展，被称为微积分基本定理。这个公式是这样的：fbf(x)dx=F(b)-F(a)a其实这个公式极大地展现了微积分这一数学分支内部的统一性与联系性：ff(x)dx是定积分，他是黎曼和的极限，它的实质是曲边梯形的血•积。而公式的另一端是原函数在积分上下限的差，也就是导数的逆运算，它可以用不定积分来完成运算。这个公式的两边完全是不同的概念，但是两者却可以用等号连接起来。那么，它也就无可否认地展现了微积分内部几大运算：微分、不定积分、定积分之间强大的内在联系。三者统一于这个公式之中。这就是数学的统一。几个看似毫无关系的东西，它们的诞生为的也是不同的数学冃的，

4、最初解决的也是不同方面的问题，最后居然能联系起来，能统一计算。牛顿•莱布尼茨公式使得原来通过求黎曼和的极限的困难运算一下了变得简单了。而正式这样的统一，推进了微积分的发展。可见数学的统一性有其应用，它在推进自身的发展上具有不可替代的作用。1.一个神奇的公式——eni+1=0——连接不同的数学分支上面讲的是一个数学分支内部的各个概念，各个运算之间的统一。那么下面出现的则将是不同数学分支之间的高度联系和高度统一。e-+l=O,无论你是否见过这个公式，你都会被它的神奇，被它的美所倾倒。的确，这是一个不同寻常的公式。首先，组成这个公式的5个数字都是数学中最不寻常的数字:e、ir、l、0、

5、io“1”一切实数的出发点，是最简单的也是敲基础的实数z—,它最初是来自于自然数的概念的。“o”是实数中唯一的一个中性数。“i”是虚数的基本单位，是为了解决复数问题以及一些无实根的代数方程而诞牛的一个概念。而“e”和“h”则是两个地位超样的超越数（所谓的超越数是指一个数不是任何整系数方程的根）。其中n是圆周率，是为了解决几何问题一一求圆周长而产生的。e是近代发现的，e二li%*（1+扌）：它是为了编制对数表而产生的概念，是自然对数的底，应用广泛。它们分别是不同的数学分支给岀的概念，来自于不同的数学分支。它们也是最具代表性的数字，代表了它们最初所存在的领域。“0”、“1”代表算术，

6、“i”代表代数，“兀”代表儿何，Iflj"e”代表了数学分析。但是这五个地位超群的数字却被欧拉用一个极其简单的式子e^+l=0连接了起來，不可谓不神奇。也许这儿个数字的给出者并没有想到他们之间还能形成如此强烈的联系，如此高度的统一。这个公式恰当地表现了数学的各个分支Z间的一种不可抹去的内在的木质的联系、统一与和谐，各个分支往往能通过某种方式札I联系。而这种统一往往是可以在一种比较简单的形式中表现得淋漓尽致。并且，这个展示数学的统一性的公式也将数学统一性的应用发挥得很好。它成功地帮助了数学家证明了兀的超越性。在1873年埃米特证明了e的超越性的基础上，徳国数学家成功地利用欧拉公式：

7、e-+1=0证明了皿的超越性。数学的统一性就是如此美妙，利川数学的统一性，将一个问题转化到另一个问题上，另一个领域中去求解，往往能取得柳暗花明的效果。类似与这样的，在数学的各个分支层面上通过某种方式得到统一•的例子是数不胜数的。像笛卡尔用处标系将儿何问题与代数问题和统一，希尔伯特的元数学，罗素把数学归为逻辑等。它们都如此强烈地证明了数学的各个分支之间是不可分割的，它们之间总是可以通过某种方式得到统一的。而这也是内在统一性的外在表现。2.数理逻辑——数学与逻辑的统一体V、久A.V,