均匀介质中基模高斯光束解以及参数特性

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1、激光场分布中基模高斯光束解以及相应参数由图1所示的典型的激光振荡器输出一相干电磁辐射，场分布遵守麦克斯韦方程组。若介电系数ε(r)和磁导率μ(r)在一个波长范围内的相对变化小于1，则场矢量E和H满足简化了的波动方程，在上述假设条件下，场矢量的分量满足标量波动方程图1激光器输出高斯光束（1）由上述方程得到的激光场分布方式可能有许多种，其中最基本的一种具有轴对称性，在垂直于光轴的平面上场的振幅或强度呈高斯函数分布，我们通常称之为基模高斯光束解。下面就介绍所示的标量波动方程得到基模高斯光束解及解中各个参数的物理意义。设场量的复数表

2、达式为(2)将形式解(2)式代入标量波动方程(1)中，得到亥姆霍兹方程(3)在均匀介质中，式中的,设光束采取一种近似平面波的方式传播，其能流主要沿着Z方向，光束场分布靠近Z轴，U0取下面的形式(4)将U0代入方程(3)，得到(5)设ψ为Z的缓变函数，与k(∂ψ/∂z)相比∂2ψ/∂2z可以忽略，于是方程(5)化为(6)取上述方程的试探解为将得到的ψ(x,y,z)代入(4)式，得到U0的解。式中p(z)和q(z)均为复函数，称p(z)为相移因子，q(z)为光线参数。(7)式中r=(x2+y2)1/2表示空间中(x，y)点与z轴

3、的距离。将(7)式代到(6)中得上面方程必须对所有的r都成立，所以r2前的系数必定为0，因而有由(2),(4),(6)式得到光波场的强度为（8）(9)(10)和(11)设R(z)和W(z)为描述光线特性的两个实参数，它与复参数q(z)有下述关系式中λ=λ0/n为介质中的波长，λ0为真空中波长。将(12)代入(11),有由此可见，在z=常数的面上，光的强度分布与r呈高斯函数关系。在此平面上，光强度下降到轴上光强的1/e2,因而振幅下降到1/e所对应的点形成一个半径为W(z)的圆，通常称W(z)为光斑的半径。用这些参数表示(4)

4、式，得(12)(13)(14)对方程(9)积分，得到式中q0是积分常数，当z=0时光线参数q(0)=q0,将q(z)的表达式(15)式代入方程(10)中，得到积分得式中积分常数已经表示为p(0)-jlnq0，把p(z)和q(z)代入(14)式得因子ejp(0)是一个常数相位因子，可以人为地设定一个相位的初始值，这里设p(0)=0,则(15)(16)(17)(18)(19)下面我们针对前面引入的描述基模高斯光束的参数W(z),R(z)等进行更进一步的讨论，了解这些参量如何描述高斯光束的特征。设上式所表示的波的复振幅中总的相位因

5、子为ϕ(z)，那么由上式看出当R→∞时,ϕ(z)与r无关，这时ϕ(z)仅为z的函数，由(20)式可知等相面为一垂直于z轴的平面。将该处位置定为z坐标的原点，即z=0,则有ϕ(0)=0。引入记号W0=W(0)，由(12)式，当R→∞时，有由(15)式，对于任意点z有由上式求得1/q,并与方程(12)比较，令其虚部相等，于是就得到光斑半径的平方为(20)(21)(22)(23)显而易见，当z=0时光斑半径取W(z)的最小值W0,这就是高斯光束的腰。由(22)式在腰处q=q0为一纯虚数。由(23)式，当z≠0时，无论z取正或取负均

6、有W(z)>W0。这一点也可以由图2中看出来。图2所示的θ角为基模高斯光束的远场发散角，它由下式定义图2高斯光束的特征（a）横截面上基模高斯光束的电场分布；（b）子午面上的等强度线，远场发散角θ和等相位波前(24)图2中用虚线表示出了z≠0时的等相面的形状，令ϕ(z)=C(常数）由(20)式得到因此由复数表达式得到有由上式可得(26)式右边的项（25）（26）（27）（28）（29）将它代入(26)式得到等相面上的点所应满足的方程为当z足够大时，对于近轴高斯光线来说tan-1(λz/πW02)≈π/2，(26)式中对相位贡献

7、最大的项为kz，这时该方程可表示为t=0时刻发散的简谐球面波的等相面由下式确定当z2>>x2+y2时（30）（31）(32)(33)（34）比较(32),(33),(34)式，得知(32)式就是标准球面波在z>>r时的抛物面近似，式中R(z)就是所近似的球面波等相面的曲率半径。由腰的位置z=0处算起，轴上坐标z处位置的复数相移p(z)可由(17)得到，将（21）式所表示的q0代入(17)式，得到相移的表达式如前所述，积分时已经选取了在z=0处的初始相移p(0)=0。设相移p(z)的实部为-φ，由(35)式看出φ标志着沿轴向传

8、播的高斯光束和平面波在相位上的差别，由(35)和(23)式，相移p(z)的虚部为（35）(36)由以上3式，相移p(z)表示为将上式及(12)式代入(7)式所表示的试探解中，最后得到方程(1.2-37)所表示的高斯光束的复振幅为由这一结果看到，在写出表达式(2)时实际上就已经假定了光束腰斑