高考数学知识模块复习指导学案——不等式【II】

《高考数学知识模块复习指导学案——不等式【II】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高考数学知识模块复习指导系列学案——不等式[II]例3已知i、m、n是正整数,且lviWmvn,(1)证明：n'Am'vnVAj;(2)证明:(l+m)n>(l+n)w0证明(1)对于1viWm,有A,=m……(m-i+l),V^-=—・兰二1……力一'*】mlinmm同理盘上nlnn-lnn-i+1n由丁Fvn,・・・对于整数k=l,2,…,i—1,有巴二士＞兰二所以盂＞如nmn1tn1即mAi'nAJ(2)山二项式定理有(1+m)n=1+CJm+Cn2m2+**•+Cnnmn(1+n)ni=14-Cm'n+Cm2n2+--*+Cmninm由(1)知m'AnSn'Am1(lv

2、iWmvn)A1A*而C岛q,c上」iim'CnSn'Cm'(kiWmvn)m°Cn°=n°Cn°=l,mCn1=nCm"=m•n,n2cm2/••mniCnni>nmCmm,mni+lCnm+1>(),•••,mmCnn>0,1+Cn*m+Cn2m2+*,,+Cnnmn>14-CiJn+Cm2n2+…+Cmninn,即(l+m)n>(l+n)m成立。注本题是2001年全国高考数学试题，上述证明方法关键是配对。除了上述证法外，本题还有许多另外的证法，下面另举两种证法。(1)法一：令n=m+k,(keN)对白然数匸1,2,…，i—l,tvm,有—<»从而得：1—v1mm-tm

3、m-t.-.(1+—/<(1+—)(1+-^-)-(1+—)mmm—1m—i+(m+k)(m+k-+k-i+1)(m+kjm(m—1)•••(m—i+l)n是正整数，且IviWmvn,不妨设n=m+k(其中kWN)。下面对正整数i实施数学归纳法。(i)当i=2吋,2&=n2Am2=n2m(m—l)=n2(m2—m)=(m+k)2(m2—m)=m2*(m4-k)2—m«m+k)2,右边=n?A,=m2n(n—l)=m2(m+k)(m+k—l)=m2(m+k)2—m2(m+k)279*

4、.*(m+k)~>m・(m+k)m(m+k)~

5、)二(1+〃严.(1+川•/(/I)一(2+旷严(1+〃)2"+2(n2+2n+l),,+1,——>I~(2n+n2)w+I~(n2+2n)n+l・f(n+l)>f(n)34・••当k>3,keN时，f(k)单调递增，又V/(3)=-r>14£1.•.kk+1>(k+l)k,B卩kO(k+l)m于是经过有限次传递，必有：/、匕/(1+加)"1+〃(n+1)"+iv(m+l)w+,=>>>1(1+M"1+加・・・(l+m)、(l+n)m法二：(1+m)n>(l+n)mnlg(l+m)>mlg(1+n)inolg(l+〃)」g(l+〃)n令f(n)=临(1+")，心2n<=>(l

6、+n)n+1>(2+n)nn+1X/(H)>/(H+1),即览(1+叽lg(2+〃)1+nn1<=>(-—)n>—-2+nn+Io(i——!—)、丄〃+2n+1Vn>2,-—!—>-1n+2•••山贝努利不等式得(1-"亠丄>丄n+2n+2n+1...lg(l+")>lg(2+"),.・.f(n)单调递减，乂・.・mvnnn+1.lg(l+加)、lg(l+n)••>mn例4解下列关于x的不等式：(1)a2x+Kax+2+ax_2(a>0);(2)loga(l--)>l(a>()且aHl)。x解在解指、对数不等式时，常要对底数a进行分类，然后依据其函数的单调性来实现转化,在转化过

7、程中注意不等式解的等价性。(1)原不等式等价于a2x—(a2+a_2)ax+1^0O(ax—a2)(ax—a2)WO(i)当Ovavl时，a2l时,a2>a-2,/.a2^ax^a2即一2WxW2(iii)当a=l时，x为一切实数。综上所述：当(Xavi或a>l时，原不等式的解为｛xl-2WxW2｝；当a=l时，解集为R。(2)⑴当a>l时，原不等式等价于1-->0XI11>ax11=^>1——>a^l—a>—xxVl-a<0(ii