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1、正项级数的敛散性判别方法探究摘要：正项级数是一类重要的级数，对于研究一般项级数及函数项级数的敛散性有十分重要的意义.本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便.然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性.最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的.一般来说，部分和S”不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定.就止项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法.它需要用已知敛散性的级数作为比较对彖.若用等比级数作为比较对象，就得到了柯
2、西判别法和达朗贝尔判别法.但当极限为1时，这两个判别法失效.若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更8181慢的级数作为比较级数，分别以〃级数工丄和级数工一作为比较对象，得n=iM„=2n（ny到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多.此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对彖来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法.与之对应的还有导数判别法.2正项级数的相关概念山定义1设xpx2,•••,%,„…是可列无穷个实数，我们称它们的“和"+甩+•••+£+•••00为数项级数（简称级数），记为其中£称为级数的通项或一般项./
3、=100定义
4、2如果级数工益的各项都是非负实数，即%„>0,斤=1,2,3,…,则称此级n=数为正项级数.00定义3取级数£兀的前刃项z和，记为n=lSfl=西+尤2+・••+/“=》忑，〃=1,2,3,•…，k=l则称S”为级数£兀的部分和，｛sn｝为级数£兀的部分和数列.n==定义4如果部分和数列｛S”｝收敛于有限数S,则称级数丈兀收敛，且称它的/:=1和为S,记为s=^xn；如果部分和数列｛S”｝发散，则称级数£暫发散.W=13正项级数收敛性的常用判别法3.1比较判别法⑴定理1正项级数收敛的充分必耍条件是它的部分和数列有上界.定理2(比较判别法)设£暫与£儿是两个正项级数，若存在常数
5、A〉0,成71=1M=1立E,几=1,2,3,…，则⑴当£几收敛时’£暫也收敛；n=l/j=l0000(2)当工£发散时，为儿也发散.n=ln=l推论(比较判别法的极限形式)设£石与£儿是两个正项级数，如果兀占儿n=ln=[是同阶无穷小量，即lim^=Z,则y0000(1)当Ov/v+oo时，工兀“与工几同时收敛或同时发散；//=1n=l0000(2)当/=011级数£儿收敛时，级数£兀“也收敛；z?=lz?=l(3)当心+oo口级数立儿发散时，级数£暫也发散.n=ln=3.2柯西判别法与达朗贝尔判别法根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对彖来判别其他级数的敛散性.柯西
6、判别法与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的.3.2.1柯西判别法及其推广⑵定理3设£兀是正项级数，lim氏"二厂，则当厂vl时，级数收敛；当厂〉1时,厶哼刃一>8n=l级数发散；当厂=1时，级数可能收敛也可能发散.推论1(广义柯西判别法1)设乞兀“为正项级数，如果1曲"胃/£=厂(。〉0),则当厂<1时，级数收敛；当厂>1时，级数发散；当厂=1时，级数可能收敛也可能发散.证因为lim=r,即对任意止数g,存在止整数"，当n>N时，有"TOOyr-£<0(2)取N=max{N,N),当n>N时，式⑴和式⑵同时成立
7、.(1)当厂<1时，取£足够小，使r+£=q<.曲上述讨论，存在N,当n>N时,00008有£<严”，正项级数为严—护£(/)"收敛，由比较判别法，级数£占收敛.71=1/1=1/1=1(2)当厂>1时，取£足够小，使r-£=q>l.曲上述讨论，存在N,当n>N时,00008有x“>I严,正项级数£严—护£(/)"发散，由比较判别法，级数£暫发散.71=1/1=1/1=1⑶当厂=1时，取,那么对任意d〉o和常数方，有H1而级数工丄发散，级数工三收敛.故不能确定级数工暫收敛或发散.n=l"n=乳n=推论2（广义柯西判别法2）设乞兀为正项级数，如果lim^=r（其中加>1且厶呻打T
8、OO、71=1加wAT）,则当尸<1时,级数收敛；当厂>1时,级数发散;当尸=1时,级数可能收敛也可能发散.证I大I为linr氏=厂，即对任意正数s存在正整数N,当n>N时，有r-£<N吋，有・因为/n<^（m>l）,乂正项级数收敛，由比较判别法知，级数/2=100£益收敛・/?=!当r>1取£足够小，使厂-£=今〉1•由上述讨论，存在N,当〃〉N时,g有£>qn，n>1,那么li
