点、直线、平面之间的位置关系-2.3.2平面与平面垂直的判定

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1、2.3.1平面与平面垂直的判定2010~2011学年度高一数学·必修1(人教A版)济宁育才中学高一数学组 朱继哲1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角:3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直。教学目标创设情景,揭示课题问题1:平面几何中“角”是怎样定义的?问题2:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征?问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?这样的角有何特点,该如

2、何表示呢?研探新知1、二面角的有关概念及其记法与表示观察思考:展示一张纸面,并对折让学生观察其形状,然后引导学生将它与角进行类比,归纳出二面角的概念及记法与表示.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β。有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q。如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α―l―β或P―l―Q。1、二面角的有关概念及其记法与表示研探新知2、二面角的度量提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关

3、系,如我们常说“把门开大一些”,是指二面角大一些,那我们应如何度量二面角的大小呢?在二面角α―l―β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。⑴在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥l” ,“OB⊥l”;⑵∠AOB的大小与点O在l上位置无关;⑶二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,平面角是直角时叫直二面角。⑷二面角的平面角的范围是:注意:想一想:怎样求二面角?方法1:如图,过二面角α-l-β一个面内一点A,作另一个面的垂线,垂足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O,连结AO,则∠AOB是二面

4、角的平面角.ABOlαβ垂线法方法2:如图,平面γ垂直于二面角的棱l,分别与面α、β相交于OA、OB,则∠AOB是二面角的平面角.垂面法βlAOBγα3、两个平面互相垂直两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成:直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直,记作:α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示:4、两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.αβlO注:这个定理简称“线面垂直,则面面垂直”下面我们来证明这个定理求证:α⊥β.分析:要证明两个平面互相垂直,只

5、有根据两个平面互相垂直的定义,证明由它们组成的二面角是直二面角,因此必须作出它的一个平面角,并证明这个平面角是直角.如何作平面角呢?根据平面角的定义,可以作BE⊥CD,使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角.求证:α⊥β.证明:设a∩β=CD,则B∈CD.∴AB⊥CD.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,又AB⊥BE,即二面角α-CD-β是直二面角.∴α⊥β.αβCDABE特别注意:两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水

6、平面垂直,实际上,就是依据这个原理.另外,这个定理说明要证明面面垂直,实质上是转化为线面垂直来证明.课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.()2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,则α⊥β.()3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.()4.若m⊥α,m//β,则α⊥β.()××√√5.二面角指的是( )A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B证明:设⊙O所在平面为α,由已知条件,有PA

7、⊥α,BC在α内,所以,PA⊥BC,因为,点C是不同于A,B的任意一点,AB为⊙O的直径,所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以,BC⊥平面PAC,又因为BC在平面PBC内,所以,平面PAC⊥平面PBC。例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周一不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC。ABOCP探究:你还能发现哪些面互相垂直?例2、已知直线PA垂直正方形

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