第九届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

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1、第九届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案出题学校：第1题（15分）(1)ω0=Lg75。2310GL(2)∆∠OAO′=4。3Eb第2题（25分）3π3σpd2σpd2(1)[F]=≈0.4651。200nn(2)不会波动，证明见详细解答。(3)可以，许用荷载多可提高76.7％。第3题（25分）(1)α1=0，α2=arccos100=45o。200(2)x2=200y。(3)长度2L小于200mm的杆水平放置的平衡是稳定的。长度大于200mm的杆水平放置的平衡是不稳定的，处于角度α=arccos100上的平衡是稳

2、定的。L第4题（30分）195Eπd3εmax(1)F=。5248L(2)可以，原因见详细解答。(3)除了温度补偿片，至少还应该贴3个应变片。J截面的上顶点处沿轴向贴一个应变片ε(1)，另外两个应变片ε(2)和ε(3)应该贴在J截面水平直径的两端处，并沿着与轴线成45°夹角的方向1Eπd3(ε+ε)3Eπd2(ε−ε)上粘贴。MJ=Eπd3ε(1)，TJ=(2)(3)，FSJ=(2)(3)。-26-3232(1+ν)32(1+ν)第5题（25分）(1)e=。(2)vC=⎜⎜⎛⎝65+5482π⎞⎟⎟⎠gL。详细参考解

3、答及评分标准评分总体原则各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。第1题（15分）ωOALbHO′图1-1为某个装在主机上的旋转部件的简图。四个重量为G，厚度为b，宽度为3b，长度为L，弹性模量为E的均质金属片按如图的方式安装在轴OO′上。在A处相互铰结的上

4、下两个金属片构成一组，两组金属片关于轴OO′对称布置。两组金属片上方均与轴套O铰结，且该轴套处有止推装置，以防止其在轴向上产生位移。两组金属片下方均与O′处的轴套铰结，该轴套与轴OO′光滑套合。当主机上的电动机带动两组金属片旋转时，O′处的轴套会向上升起。但轴套上升时，会使沿轴安装的弹簧压缩。弹簧的自然长度为2L，其刚度k=23G。O和O′L处的轴套、弹簧，以及各处铰的重量均可以忽略。(1)暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时O′处轴套向上升起的高度H=L是额定的工作状态，那么相应的转速ω0是多少？(2)当转速恒定

5、于ω0时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算图示角度∠OAO′相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。图1-1解答及评分标准-26-(1)（本小题6分）显然，在转速ω0下，各金属片均与竖直线成60o角。先分析下片的受力，如图1-2(a)所示。建立如图所示的局部坐标系。重力为均布荷载，合力为G，作用点在x=L处。离心力为线性分布荷载，在坐标为x的截面处，集度为Grω02=3Gω02x，其合力为3Gω02L，Lg2Lg4g作用点在x=L处。左端O′处的竖向杆端力仅来自于弹簧。由于弹簧的压缩量为L，故总压缩力为Lk=23

6、G，一个下片所受的向下压缩力为G。这样，根据竖直方向上的力平衡，右端A处的竖向杆端力F=G。①(1-1)对O′取矩，则可求出右端A处水平方向杆端力R，22543⋅−GL−3Gω02L⋅L+R⋅LL+F⋅3L=0，4g322R=23G⎛⎜⎜⎝ω302gL−24⎞⎟⎟⎠故有。②(1-2)再考虑上片。如图1-2(b)所示，与上片类似，对O取矩，可得43⋅−GL+3Gω02L⋅L+R⋅L−F⋅3L=0，4g322R=23G⎛⎜⎜⎝−ω302gL+26⎞⎟⎟⎠故有。②(1-3)式(1-2)和(1-3)中的R在数值上相等，由此可

7、得ω02LLg750=75，即ω=。①(1-4)g-26-(2)（本小题9分）本小题的求解可以采用下述两类方法。叠加法求角度∠OAO′的增量上下两个金属片所受的离心力和重力在横向上的分量，导致它们产生弯曲变形。上下两个金属片都可以简化为简支梁，其横向力如图1-3所示。图中，q0为重力的横向分量，q1为离心力在A处集度的横向分量，753G=4Lq1=1⋅3Gω02L。①(1-5)22Lgq1q0q1OA上片q0O′A下片(a)(b)图1-3记重力和离心力的横向分量在A端引起的转角数值分别为θ0和θ1，则上片转角为θu=

8、θ0−θ1，下片转角为θb=θ0+θ1，上下两片轴线的相对转角为θb−θu=2θ1。(1-6)故所求角度的变化量即为图1-4(a)所示简支梁A端转角的2倍。①如果说明了在转速ω0下离心力的作用远大于重力的作用，从而可以忽略重力的影响，同时又有上述两处得分点的结论，此处也算全对。图1-4可以一般性地假设，在如同图1-4(a)那样荷载呈线性分布的简