与圆有关的位置关系 余国琴

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1、与圆有关的位置关系主讲：黄冈中学高级教师　余国琴一周强化一、一周知识概述1、点和圆的位置关系　　如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．　　(1)d＞r点在圆外；　　(2)d=r点在圆上；　　(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆　　（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．　　三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．　　注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指

2、圆内．　　②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．　　(2)三角形外心的性质：　　①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．　　②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4、反证法　　(1)定义：从命题结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立，这种方法叫做反证法．　　(2)反证法证明命题的一般步骤　　①反设：作出与结论相反的假设；　　②归谬：由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；　　③作结论：由矛盾判定

3、假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5、直线和圆的位置关系的定义及有关概念　　(1)直线与圆的位置关系有关概念　　①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．　　②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．　　③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．　　(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：　　(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；　　(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；　　(3)直线l和⊙O相离d＞r(如

4、图(3)所示)．6、切线　　(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．　　(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．　　(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．　　(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心　　①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．　　②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．8、圆和圆的位置关系　　(

5、1)图示定义法(交点数)　　①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；　　②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；　　③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．　　注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：　　(Ⅰ)没有公共点：　　(Ⅱ)有惟一公共点：　　(Ⅲ)有两个公共点：相交　　(2)用数量关系判断两圆的位置关系　　当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距

6、)的大小有关，设两圆半径分别为R和r(R＞r)，圆心距为d，则：　　(1)两圆外离d＞R＋r；　　(2)两圆外切d=R＋r；　　(3)两圆相交R－r＜d＜R＋r；　　(4)两圆内切d=R－r；　　(5)两圆内含d＜R－r．二、重难点知识归纳与圆有关的位置关系的判断是重点，切线的判定和性质是重点也是难点．三、典型例题剖析例1、如图，已知矩形ABCD中，AB=3cmAD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围．解：　　∵矩形ABCD中，∠B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，　　∴AC=5cm，　　其中点B到点

7、A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内；若以AC为半径作圆，则没有点在⊙A外．　　故⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．点拨：　　这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解．例2、阅读下列文字：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．证明：假设AC=BC．　　∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．　　∴AC≠BC，这与题设矛盾，∴AC≠BC．　　上面的证明有没有错误，若没有