3、六:、二⋯丫⋯协:.:’户护苏⋯::介.:称⋯饭茸家茸蜻李醉离::乡今..._...汽⋯’冬协:’.八称⋯介件.、小称⋯小碑⋯介名二小弓.、430070华中师大数学系郑学群:a,o(,,,,,,我们知道第一数学归纳法是例1若)i=12⋯)求证,:,:;、上a,(l)命题p()当一l时正确/:+a:+⋯+a’·”~一~、u’u“”a名澳万一--¹(2)从命题P(n)的正确性推出命题P(;l-··。.a,“:a,当且仅当~~时等号成立+1)的正确性那么命题P伽)对所有的自然—一数,:都正确.证(1)我们首先用第一数学归纳法来,n”,,证明当一2P是任意自然数的时候¹式数
4、学归纳法的第二步是证明命题的关.,,,是成立的键通常是由自然数上升的方向来推理论,,:,证的.但是有些命题按这种方法来证就不一当P一l即一2时¹式为l,工,aa,,+a,a:2毛定行之有效至少是很困难这时我们可以考(、一艺,:,虑由自然数下降的方向来推理论证这就。“,这可由(a一))。直接推出当且仅“”,青—岁是下面要介绍的反向数学归纳法也称之.当a,一a:时等号成立“为倒推数学归纳法”,,,妾,,nn,假设p~k时即~2时¹式成立一个关于自然数的命题P()当,,n;那么p一k十1时(1)命题P(的对无穷个自然数成立a,a:u:*+,:‘+,,:(⋯)(2)从命题P
5、()的正确性可推出命题u,a:a:‘a:‘+;a:,+:a:*+l万P(1l一1)的正礁性.~〔(⋯)牙⋯)西,,.n)对所有的自然数、(,那么命题p(都成立告「一⋯a)砰证设所有使命题P(的成立的自然数a:‘+la:‘+:a:*+,,+(⋯)刁集合为、)不成立的自然数A所有使命题P(/1尸“,a:a户B.++⋯+的集台为之、I~—‘刃艺2,如果B不是空集可在B中任取一个数。,,+!b因A是无穷集所以在A中总可以找到一翌兰土竺.宁a。个数>1,0a,a:“:,+~十⋯+抖a。a。u。奋+1所以P()真”P(一l)真”P(一一2·,,。u:“:~“犷去1一1)真冷⋯经
6、过有限步后总可使P(I,)当且仅当一-一=a艺+1=,,,··.,也真这与假设矛盾即B是空集故命题a:川时—等号成立所以当P一k+1即nn.n一’..,n户,P()对所有的自然数都成立一2杆时¹式也成立因此当一2P44中学数学(湖北)1995.6是任何自然数的时候,¹式成立.也就是说,sina;+sina:+⋯+sin气·州¹式对无穷个自然数,:成立.2a,a:·n,,++⋯+气(2)假设~k时¹式成立记成5in爪2a:a,al十+⋯+卜,,n,:“+,,口奋~k所以则k=+1(~2)时一1·51一la,5ina:”sin·十,ala:a*一,+++气+十⋯+脚+l
7、2k一1al十处+⋯+心一1+心一12醉!竺些些劳兰土三=多=一竺k“,。2。l。;三〕(⋯卜)丢+竺粤多全业业(ala2⋯a,一z生兰兰二兰兰土卫里)T1、止〔·‘na,+“:+⋯+凡,k一1爪告2,两边同除以兰卫)‘,il飞二兰土里全竺〕户业先共兰坦垫吐垫过几人⋯乙尸l士卫兰土上兰土鱼旦、旱“1十a:·+⋯+处~-k一1一取a~而。l。2“,,)(⋯卜)去由此得a尹+1·十:·,+气+⋯十气+2月-俐a;a:一,一2十十⋯十心k一l上式成为。1。:。,,。,。:·n··n·na妻(⋯卜)尚当且仅当~~‘‘+‘“,镇‘+月··.,告2内一;n一时等号成立这就由k时
8、¹成a,a:,+l一++⋯十气..,:二二二5In即此时不等立推出了一k一1时¹成立2阴+1,,,:,.,根据(l)(2)知对任意自然数命题式也成立所以.成立.对形如、-2寿的自然数不等式成立,,应用反向数学归纳法时要注意它的两(2)假设当护王二二二k+1时不等式成立即,5inal,5na;+,个步骤首先要证明命题P伽)对无穷个自然十511飞口一十⋯+i,,k数成立无穷个自然数是什么形式无关紧要ala:.,:,,:1十十⋯+气+1只要保证是无穷个就行了如证明~l3镇51k+l,,,,,,,:,5⋯Zk一1⋯时P()真或者证明=2,J,al,a:,,a,则当~k时
