音乐中的数学(数学文化)

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1、上海交通大学通识教育核心课程《数学与文化》课程论文2010秋季音乐中的数学姚梦琪5100309226sakuraymq@sina.com电子信息与电气工程学院2010.12.95上海交通大学通识教育核心课程《数学与文化》课程论文2010秋季音乐中的数学姚梦琪5100309226sakuraymq@sina.com电子信息与电气工程学院摘要：在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？音乐中出现数学与数学中存在音

2、乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然音乐与数学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两者可以从根本上统一起来，成就了一种必然。5上海交通大学通识教育核心课程《数学与文化》课程论文2010秋季在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理

3、性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比例将数学与音乐联系起来.。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagoreanScale)和调音理论诞生，而且在西方音乐界占据了统治地位。毕达哥拉斯律又称五度相生律，发音体整体振

4、动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的。以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》中。直至十六世纪我国在数学运算上有

5、所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，明代朱载(1536-1610)在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义-内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确,与当今的十二平均律完全相同,这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式确定，公比为1.05946，是2开12次方的算数根。由此可见在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起.从那时起到现在,随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.感觉的音乐中处处闪现着理性的数学.乐谱的

6、书写离不开数学.看一下乐器之王———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关.我们知道在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程（注：音程：两个音之间在音高上的关系）(如图1).其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.5上海交通大学通识教育核心课程《数学与文化》课程论文2010秋季图一见到了斐波那契数列在音乐中的应用，我们再来看看黄金分割。提到黄金分割，就不得不提到匈牙利作曲家贝拉.巴托克那样利用黄金分割作的《弦乐、打击乐与钢片

7、琴的音乐》。它一共有89个小节，被分为34，34，21这三个部分，然后前两部分都又分为21，13两部分，第三部分分为13，8两个部分。均为黄金比例。除了可以用黄金分割作曲，也可以从纯粹的函数图像出发来作曲.这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作。根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do的频率是，那么它可以分解成频率为，，，，……的谐波的叠加，即；同理，高音do的频率是，同样可以分解为频率为，，，，……的谐波的叠加，即。这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。傅立叶还发现每种声音都有三种品质，音调与曲线

8、的频率有关、音量与曲线的