高中数学第一章立体几何初步1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积1.7.3球的表面积和体积学案北师大版必修2

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1、7.2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3　球的表面积和体积学习目标　1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一　柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V柱体＝ShS—柱体底面积　h—柱体的高棱柱锥体圆锥V锥体＝ShS—锥体底面积　h—锥体的高棱锥台体圆台V台体＝(S上＋S下＋)·hS上、S下—台体的上、下底面面积，h—高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？提示

2、　表面积变大了，体积不变.知识点二　球的体积公式与表面积公式1.球的体积公式V＝πR3(其中R为球的半径).2.球的表面积公式S＝4πR2.【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示　球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一　柱体、锥体、台体的体积【例1】　(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.13解析　由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，因此该几何体的体积V＝2××π×12×1＋π×12×2＝π(m3).答案　π(

3、2)在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？解　如图，设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.连接MD.因为M是AE的中点，所以VM－ABCD＝V.所以VE－MBC＝V－VE－MDC.而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，所以＝＝.因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝.所以VE－MBC＝VM－EBC＝V.规律方法　(1)求柱体的体积关键是求其底面积和

4、高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解.(2)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.13(4)台体的体积计算公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，

5、台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.【训练1】　某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3解析　由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V＝×π×12×3×＋1×3×＝＋1.答案　A【训练2】　四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解　∵C(2，1)，D(0，3)，∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.∴V圆

6、锥＝πr2h＝π×22×2＝π.∵B(1，0)，C(2，1)，∴圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1.∴V圆台＝πh′(R2＋R′2＋RR′)13＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π，∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π.【训练3】　如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值.(1)证明　由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC

7、⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.又DC∩QD＝D.所以PQ⊥平面DCQ.(2)解　设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高.而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.题型二　球的表面积和体积【例2】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为π，求它的表面积.解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝

8、4，所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝