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时间:2019-06-28
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1、实用文档第一章极限、连续与间断本章主要知识点l求极限的几类主要题型及方法l连续性分析l间断判别与分类l连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型,这里介绍前五类,后两类在相应的章节(洛必达法则,变限积分)再作相应介绍。(1)题型I 方法:上下同除以的最高次幂例1.1.解:原式例1.2.解:原式=12例1.3.标准文案实用文档解:原式===例1.4.解:原式===例1.5.解:原式==1(2)题型II原式=例1.6.解:原式=1/2例1.7.解:原式=标准文案实用文档例1.8.解:
2、原式===例1.9.解:令,原式==例1.10.解:a+2+b=0,原式=a=2,b=-4答案错误(3)题型III若,有界例1.11.解:因为 =0,而有界所以原式=0。例1.12.解:因为 (),有界, 所以 原式=0.标准文案实用文档例1.13.解 因为 ,有界; 所以原式=0。(4)题型IV识别此类题型尤为重要,主要特征为未定式.步骤如下:例1.14.解:原式===.例1.15.解:原式= = 例1.16.解:原式=标准文案实用文档(5)题型V等价无穷小替换替换公式:替换原则:乘除可换,加减忌
3、换。例1.17.错解:=0例1.18.解:原式==-20例1.19.解:原式==例1.20.(题目可能有误分子部分的9可能应替换为19)解:令,则标准文案实用文档原式====答案错误例1.21.解:原式=例1.22.解:原式=例1.23.解:原式=例1.24.解:原式===标准文案实用文档(6)题型VI洛必达法则(见导数相关内容);(7)题型VII变上限积分有关积分(见积分相关内容);、极限应用—连续性分析定义:变形:,其中分别表示左、右极限。例1.25.,若在处连续,求。解:,故例1.26.,若在处连续,求解
4、:由得:故为任意实数标准文案实用文档例1.27.,其中为有界函数,问在是否连续?解:因为所以,在处连续。例1.28.在可能连续吗?解:,不论取何值,均不能连续。三、极限应用—间断识别及分类.识别方法:可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2.分类方法:(a),为可去间断;(b),为第一类间断,或称跳跃型间断;(c)、至少有一个不存在,为第二类间断;特别地,若左右极限中至少有一为,则为第二类无穷间断。例1.29.解:间断点为,,,对于,,因为,所以为可去间断。对于,当,即,,可去间断;标准文案实用文档对
5、于,当,即,,可去间断;当,,为第Ⅱ类无穷间断。例1.30.解:间断点,0,。在为Ⅱ类无穷间断。,x=0为可去间断点。例1.31.解:定义域为。间断点为。因为,所以均为的Ⅱ类无穷间断。例1.32.解:定义域为,间断点为对于,,为第Ⅱ类无穷间断;对于,,为第Ⅱ类间断。注:对仅考虑了其一个单侧极限。例1.33.标准文案实用文档解:间断点是:,x=0是可能间断点。对于x=0,f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断;对于为第Ⅱ类间断;对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=,为第Ⅱ类间断。注:分段函数左
6、右支分别识别,分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理:在闭区间内连续,且,则在至少有一零点,即存在,使得。应用此定理需要注意以下几点:(0)如何定义。区间的选择,在证明题过程中,有明确的线索。验证在闭区间上的连续性,验证在两端的符号。此定理不能确定是否具有唯一零点,但有唯一性的要求时,应验证在内的单调性(参见导数应用部分)例1.34.证明:在内有一实根证:构造,易知在上连续,且,,故,由连续函数介值定理知,在有实根,即命题得证。例1.35.证明至少有一正根证明:令,在内连续,且,由闭区间连续函数介值定理得,在
7、至少有一根,即命题得证。五、数列极限标准文案实用文档定理:对充分大的n成立,,如果,那么。例1.36.解:因为,,所以,原式=1/2。单元练习题11.,则。2.如果,在处连续,则。3.与等价无穷小,,。4.与是等价无穷小,,。5.的间断点为。6.,则,。7.在下列极限中,正确的是()A.B.C.D.标准文案实用文档8.若那么()A.B.C.D.以上都不正确9.在下列极限中,不正确的是()A.B.C.D.10.计算下列极限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)标准文案实用文档(10)(11)(12
8、)题目错误分子根号外部分应为-号而不是+号11.分析函数的间断点,并指明其类型。12.分析的间断点,并指明其类型。13.分析的间断点,并指明其类型。14.分析函数的间断点,并指明其类型。15.证明方程至少有一正根,有一负根。16.证明:方程至少有一正根。17.。18.历年真考题1、(2001)1、下列极限正确的是(C)A.B.C.D.标准文案实用文档2、(2001)求函数的间断点,并指
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