高三复习导数常见题型归纳

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1、导数常见题型归纳1.高考命题回顾例1.（2013全国1）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。分析：⑴⑵由⑴知，设，则由已知，令①若则，从而当时，，递减时，0，递增。故当时即恒成立。②若则。。所以在上单调递增，而.所以时，恒成立。③若，则，从而不可能恒成立即不恒成立。综上所述。的取值范围例2．（2013全国2）已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．分析：（Ⅰ）。在上减。在上增。（Ⅱ）

2、当。时，。27故只需证明时。当时。在上增。又故在上有唯一实根，且。当时，，当时，从而时，。故综上知，当时，证明．例3.(2014全国1)设函数，曲线在点（1，）处的切线为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.(1)解　函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2,f′(1)＝e.故a＝1,b＝2.(2)证明　由(1)知,f(x)＝exlnx＋ex－1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.设函数g(x)＝xlnx,则g′(x)＝1＋lnx.

3、所以当x∈时,g′(x)<0；当x∈时,g′(x)>0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g＝-.设函数h(x)＝xe－x－,则h′(x)＝e－x(1－x).所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0；当x∈(1,＋∞)时,h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,27从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.例4．（2014全国2）已知函数。（Ⅰ）讨论的单调性；（

4、Ⅱ）设，当时，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估计的近似值（精确到0.001）。（Ⅰ）所以在上递增（Ⅱ）。。①当时，，在上单调递增，而所以对任意②当时，若满足即时。综上的最大值为2（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，当时，。所以的近似值为0.693例5【2015高考新课标1】已知函数f（x）=.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数27，讨论h（x）零点的个数.解　(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)＝0,f′(x0)＝0.即解得x0＝,a＝－.因此,

5、当a＝－时,x轴为曲线y＝f(x)的切线.(2)当x∈(1,＋∞)时,g(x)＝－lnx<0,从而h(x)＝min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,＋∞)无零点.当x＝1时,若a≥－,则f(1)＝a＋≥0,h(1)＝min{f(1),g(1)}＝g(1)＝0,故x＝1是h(x)的零点；若a<－,则f(1)<0,h(1)＝min{f(1),g(1)}＝f(1)<0,故x＝1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)＝－lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.

6、(ⅰ)若a≤－3或a≥0,则f′(x)＝3x2＋a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)＝,f(1)＝a＋,所以当a≤－3时,f(x)在(0,1)有一个零点；当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ⅱ)若－30,即－

7、a＋,所以当－-或a<-时,h(x)有一个零点；当a＝-或a＝-时,h(x)有两个零点；27当-

8、0.若m＜0,则当x∈(－∞,0)时,emx－1＞0,f′(x)＜0；当x∈(0,＋∞)时,emx－1＜0,f′(x)＞0.所以,f(x)在(－∞,0)单调递减,在(0,＋∞)上单调递增.(2)解　由(1)知,对任意的m,f(x)在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x＝0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[－1,1],

9、f(x1)－f(x2)

10、≤e－1的充要条件是即①设函数g(t)＝et－t－e＋1,则g′(t)＝et－1.当t＜0时,g