题型分类汇编四(证明题)

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1、题型五、证明题：(一)准则I（夹逼准则）：如果数列及满足下列条件:（1）;（2）那末数列的极限存在,且思路提示：1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出与,并且与的极限相同且容易求.2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大）例题1.证明.例题2.证明.(二)准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.思路提示：1）直接对通项进行分析或用数学归纲法验证数列单调有界；2）设的极限存在，记为，代入给定的的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限.例题3.设，证

2、明数列的极限存在，并求此极限.例题4.已知数列中的每一项都是正的，并且，证明数列是单调的，并证明.(三)方程根的存在性证明1.利用零点定理证明零点定理：设函数在内连续，且，则在内至少存在一点，使思路提示：（命题的证明步骤）1）构造辅助函数：①先把结论中的改写成；②移项，使等式右边为零，令左边的式子为；292）验证在内连续；3）验证4）由定理：至少存在一点，使。5）若要证明在内有且仅有一根，则还需证明此函数在内单调；或证明一元次方程至多只有一个实根.例题5.设在上连续，且有，证明在内至少存在一点，使.例题

3、6.证明在内至少存在一根.例题7.若在上连续，且，则方程至少有一实根.例题8.证明方程在有且仅有一个实根.例题9.证明方程至少有一个不超过的正根.例题10.证明方程有且仅有两个实根.2.利用罗尔定理罗尔定理：如果函数满足：在连续，在可导，，则在内至少一点，使得（即在该点有平行于轴的切线存在）思路提示：1）辅助函数的作法：（以拉格朗日中值定理为例）分析：，令，并移项，得；令2）验证在内连续；在内可导；3）验证294）由定理：至少存在一点，使.例题11.设在上连续，在内二阶可导，且，试证：至少存在一个，使得

4、.例题12.设在上可导，且有，证明至少存在一点内，使.例题13.函数在上连续，证明至少存在一点，使得.3.利用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如果函数在内连续，在内可导，则在内至少存在一点，使思路提示：1）辅助函数的作法：（以拉格朗日中值定理为例）分析：，令，并移项，得；令2）验证满足定理存在条件例题14.设在上连续，在内可导，且，试证：至少存在一个，使.例题15.设在上连续，在内可导，且，证明至少存在一个，使得.29例题16.设在上可导，且满足关系式，证明：在内至少存在一个，使.例题17.设在上连续

5、，在内可导，证明：在内至少存在一个，使.(四)等式及不等式的证明1．恒等式的证明（）方法归纳：1）构造辅助函数；2）证明；3），有例题18.求证：当时，有.2.不等式的证明方法归纳：1）利用单调性解题步骤：①移项（有时需作简单的恒等变形），使不等式的一端为0，另一端即为所作辅助函数；②求并验证在指定区间的增减性；③求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证.例题19.设时，证明.例题20.当时，证明.292）利用拉格朗日中值定理证明该法适用于经过简单变形，不等式一端可写成或情形.证题步骤：①在上构

6、造函数或，选取与的原则应该是，使恰为不等式中间的项。②写出微分中值定理公式或③根据题意对或进行适当的缩放。注：利用中值定理证明的关键是构造函数和确定区间.例题21.设时，有.例题22.证明：当时，有.※不等式证明总结：1）一般而言，夹在中间函数为同一类型时，其证明可用拉格朗日定理，否则用单调性更为方便.2）若不等式中只有一个变量，可用单调性或中值定理，若含有两个变量，只能用中值定理.293．定积分的证明（换元）1）定积分不等式的证明思路提示：若仅告知被知函数连续，一般需作辅助函数：将积分上限或下限换成，

7、式中其余相同的字母也换成，移项使一端为0，则另一端的表达式即为，求出，并判别它的单调性，再求出在积分区间的端点值，从而得出不等式的证明.例题23.设在连续，，对任意的，证明：.例题24.设在上连续，且严格递增，证明.例题25.设在上可导，且，证明.例题26.在上连续，在内可导，且证明：在内至少存在一点，使.2）定积分等式的证明定积分等式的证法常有：换元法，分部积分法，构造函数法、中值定理等.例题27.设连续，证明.例题28.设连续，证明.例题29.证明.例题30.设在内连续，且，证明：1）若为偶函数，则

8、也为偶函数；2）若单调不减，则单调不增.294.利用二重积分证明等式与不等式1）定积分等式的证明—交换积分次序即可例题31.证明：.2）定积分不等式的证明：思路提示：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明.例题32.设在上连续且单调增加，求证：　　.例题33.设函数为上的单调减少且大于0的连续函数，求证：.5.利用格林公式验证积分与路径无关思路提示：设