2019高考数学考点突破——直线与圆:圆的方程

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1、圆的方程【考点梳理】1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心(a,b),半径r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)圆心,半径2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【考点突破】考点一、求圆的方程【例1】(1)过点A(4

2、,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.[答案](1)(x-3)2+y2=2 (2)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0[解析](1)法一由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②联立①②,解得所以圆心坐标为(3,0),半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.法二设圆的方程为(x-a)2+(y-b)

3、2=r2(r>0),∵点A(4,1),B(2,1)在圆上,故又∵=-1,解得a=3,b=0,r=,故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.③设x1,x2是方程③的两根,由

4、x1-x2

5、=6,得D2-4F=36,④联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.【类题通法】求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:

6、(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.【对点训练】1.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________.[答案]x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10)[解析]法一∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心为C(a,

7、b),则有解得a=2,且b=1.因此圆心坐标C(2,1),半径r=

8、AC

9、=.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法二设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得D=-4,E=-2,F=-5,∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.2.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.[答案]2+y2=[解析]由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方

10、程为(x-m)2+y2=r2(00),则解得所以圆的标准方程为2+y2=.考点二、与圆有关的最值问题【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.[解析]原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1).所以的最大值为,最小值为-.(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与

11、圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2).所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.【类题通法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化极为

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