必修4平面向量数量积考点归纳总结

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1、“平面向量”误区警示“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水．现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下．⑴向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．⑵若向量与相等，则有向线段AB与CD重合解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．因此，若＝，则有向线段AB与CD长度相等且方向相同，但它们可以不重合．⑶若向量∥，则线段AB∥CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．故由与平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可

2、能平行也可能共线．⑷若向量与共线，则线段AB与CD共线解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量．故由与共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线．⑸若∥，∥，则∥解析：由于零向量与任一向量平行，故当＝时，向量、不一定平行．当且仅当、、都为非零向量时，才有∥．⑹若

3、

4、＝

5、

6、，则＝或＝－解析：由

7、

8、＝

9、

10、，只能确定向量与的长度相等，不能确定其方向有何关系．当与不共线时，＝或＝－都不能成立．⑺单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等．⑻若

11、

12、＝

13、0，则＝0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集．故若

14、

15、＝0，则＝，不能够说＝0．平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()⑴;⑵反向⑶;⑷=A.1B.2C.3D.4..评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.考点二、考查求模问题例2.已知向量，若不超过5，则k的取值范围是__________。评注：本题是已知模的逆向题

16、，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（1）已知均为单位向量，它们的夹角为60°,那么＝（）A.B.C.D.4（2）已知向量，向量，则的最大值是___________。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.练习一：数量积（内积）的意义及运算1．已知向量，为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为（）Ａ．　　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．图1ＡＢＣ练习目的：区别在方向上的投影与在方向上的投影，达到正确理解投影的概念．2．在边长为2的等边中，的值是（　

17、　）．　Ａ．２　　Ｂ．－２　　Ｃ．　４　　Ｄ．－４练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解的几何意义．..3．已知的夹角为，.(1)求的值；(2)当m为何值时，垂直？练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的．　　练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法．5.　已知向量，，求（1）；（2）与的夹角练习目的：

18、巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系．6．设向量满足，的夹角为，若向量与向量夹角为钝角，..求实数的取值范围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题．　　　练习三．平面向量的综合应用7．（1）已知中，，Ｂ是中的最大角，若，则的形状为__________.练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状．平面向量巩固检测1已知，，其中(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)2．已知、是两个不共线的向量，且=（cos，sin）

19、,=（cos，sin）（Ⅰ）求证：+与－垂直；（Ⅱ）若∈（），=，且

20、+

21、=，求sin...3．设(1)计算4．已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cos，－sin)，其中x∈[0，](1)求·及

22、＋

23、；(2)若f(x)＝·－2λ

24、＋

25、的最小值为－，求λ的值平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()⑴;⑵反向⑶;⑷=A.1B.2C.3D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·

26、｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，