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1、欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表
2、示求和、表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1形状为（1）
3、的方程称为欧拉方程.（其中，，，，为常数）182.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如的解）二阶齐次欧拉方程：.（2）(其中,为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边、和的系数都是幂函数（分别是、和），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数来尝试，看能否选取适当的常数，使得满足方程（2）.对求一、二阶导数，并带入方程（2），得或,消去，有.（3）定义2以为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数满足特征方程（3），则幂函数就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有
4、如下结论：定理1方程（2）的通解为(i),（是方程（3）的相等的实根）(ii),(是方程（318）的不等的实根)(iii).（是方程（3）的一对共轭复根）（其中、为任意常数）证明（i）若特征方程（3）有两个相等的实根:，则是方程（2）的解,且设，（为待定函数）也是方程（2）的解（由于，即，线性无关），将其带入方程（2），得,约去，并以、、为准合并同类项，得.由于是特征方程（3）的二重根，因此或,于是，得或,即,18故.不妨取，可得方程（2）的另一个特解,所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）（ii）若特征方程（3）有两个不等
5、的实根:，则，是方程（2）的解.又不是常数，即，是线性无关的.所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：（），则，是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有，,显然，和18是方程（2）的两个线性无关的实函数解.所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）例1求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，即,其根为：,所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）例2求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，即,其根为：，，所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）18例3求方程的通解.解该欧拉方程的特征方
6、程为，即,其根为：,所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：.（4）（其中，为已知实常数，为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设，,（5）则方程（4）变为，即,（6）根据韦达定理，由（5）式可知，，是一元二次代数方程18（3）的两个根.具体求解方法：定理2若，为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为.（7）证明因为，为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令,代入方程（6）并整理，得和,解之，得方程（4）的通解为.由定理2知
7、，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3若，为方程（2）的两个特征根，则（i）当是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为,（ii）当18是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为,（iii）当是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为证明（ii）当是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得（8）（iii）当是方程（2）的共轭复特征根时，，再由欧拉公式有,,将其代入(8)式，整理可得方程（4）
8、的通解为（i）的证明和（ii）类似.例1求方程的通解.18解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为,所以由定理3，原方程的通解为（其中，为任意常数）例2求方程的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，，所以
