《空间两点间的距离公式》教案

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1、《空间两点间的距离公式》教案一、教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.二、三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问

2、题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.三、重点难点教学重点:空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.四、课时安排1课时五、教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.

3、我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=

4、x1-x2

5、;平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式.提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的?②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算?③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算?⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形?在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形?⑥试根据②

6、③推导两点之间的距离公式.活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程;②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解;③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式;⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果:①平面直角坐标系

7、中,两点之间的距离公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,是同名坐标的差的平方的和再开

8、方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出

9、MN

10、=.再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则

11、MP1

12、=

13、z1

14、,

15、NP2

16、=

17、z2

18、,所以

19、HP2

20、=

21、z2-z1

22、.在Rt△P

23、1HP2中,

24、P1H

25、=

26、MN

27、=,根据勾股定理,得

28、P1P2

29、==.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为

30、P1P2

31、=.于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:(1)线段AB的中点坐标和长度;(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动:学生审

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