三角函数的图像习题精选精讲

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1、习题精选精讲三角函数的图象变换　　三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用．一、正向变换例1　由函数的图象经过怎样的变换，得到函数的图象．分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一种解法请同学们参照评注自行探究）．解：评注：由函数的图象得到函数的图象的变换主要有两条途径：①；②“相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于x的变化顺序：途

2、径①中由x到，变化了，应平移个单位；途径②中由到（即），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律.本题还涉及到了对称变换，先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下．二、逆向变换例2　已知函数，将的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，求已知函数的解析式．分析：对函数的图象作相反的变换，寻求应有的结论．　　解：把的图象沿着x轴向右平移个单位，得到的解析式是；再使它的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，得到的解析式为．

3、故所求函数解析式为．评注：本题也可以设所求函数的解析式为，通过“正向变换”得到，因与是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论.三、综合应用9习题精选精讲例3　已知函数，当时，的最大值为．（1）求的解析式；（2）由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．解：（1）由，得，∴，∴当时，，与矛盾，舍去；当时，由，，得，∴．（2）能．先将的图象向右平移个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数的图象．图象变换问题　　三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再

4、探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言．例6　已知函数，．该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？解：．将函数依次作如下变换：（1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；（4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象．综上得到函数的图象．点评：由的图

5、象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即9习题精选精讲．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度．解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点”三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么角度考察，不管考察哪一种性质问题，解决问题的切入点一般有两个：一是把所研究的函数解析式化为：“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。举例说明如下：例1、（2006年福建卷）已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？思路分析：先把

6、函数的解析式化为的形势后，类比讨论。解：（I）=的最小正周期由题意得、即　的单调增区间为（II）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为：“一角一”的形式（如：）是解决此类问题的共同切入点。易错点剖析：若把化为，由求的增区间是错误的，处理方法：（1）把变为，或把变为=后类比求。例2、（2003辽宁卷理）已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.思路分析：

7、（1）是R上的偶函数，应为，，易求（2）在区间上是单调函数，根据图像，，可求的范围。9习题精选精讲解：由是偶函数，得依题设，所以解得.由的图象关于点M对称，得…，…..根据，，得所以，综合以上得.点评：根据函数图像很容易找到条件(1)偶函数（2）且在区间上是单调函数应用的切入点，从而快速准确求出参数的值。例3．已知函数，若函数有两个不同零点。（1）求实数的取值范围；（2）求的值。思路分析：把函数解析式化为“一角一”，然后利用五点法画出函数在区间上的图像，利用图像求解。解：列表0010-101画出函数在区间上的图像，如图：9习题精选精讲根据函数的图

8、像可得：（1）当时，函数有两个不同的零点。（2）当时；当时。点评：利用图像很直观地得到问题的答案，同时也体现了数形结合思想在解题中的应用