数学高中巧学巧解大全

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1、第一部分高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点依赖于另一动点而运动,而点的轨迹方程已知(也可能易于求得)且可建立关系式,,于是将这个点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。【例1】(2009年高考广东卷)已知曲线:与直线:交于两点和,且,记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;【巧解】联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点

2、在曲线上,∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().【例2】(2008年,江西卷)设在直线上,过点作双曲线的两条切线、,切点为、,定点M。过点A作直线的垂线,垂足为N,试求的重心G所在的曲线方程。【巧解】设,由已知得到,且,,(1)垂线的方程为:,由得垂足,设重心所以解得由可得即为重心所在曲线方程巧练一:(2005年,江西卷)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.,求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二:(2006年,全国I卷)

3、在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量,求点M的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。【例1】(2009年高

4、考全国II卷)已知双曲线的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若,则C的离心率为()(A)(B)(C)(D)【巧解】设,,,由,得∴,设过点斜率为的直线方程为,由消去得:,∴,将代入得化简得,∴,化简得:,∴,,即。故本题选(A)【例2】(2008年,四川卷)设定义在上的函数满足,若,则()(A)13(B)2(C)(D)【巧解】∵,∴∴函数为周期函数,且,∴故选(C)巧练一:(2008年,湖北卷)若上是减函数,则b的取值范围是()A.B.C.D.巧练二:(2008年,湖南卷)长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面

5、上,且AB=2,AD=AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.三、定义法所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题,用圆锥曲线的第一和第二定义解题,是一种重要的解题策略。【例1】(2009年高考福建卷,理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的长为8,则.【巧解】依题意直线的方程为,由消去得:,设,,∴,根据抛物线的定义。,,∴,∴,故本题应填2。【例2】(2008年,山东卷,理10)设椭圆C

6、1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()(A)(B)(C)(D)【巧解】由题意椭圆的半焦距为,双曲线上的点满足 ∴点的轨迹是双曲线,其中,,∴,故双曲线方程为,∴选(A)巧练一:(2008年,陕西卷)双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.巧练二:(2008年,辽宁卷)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和

7、的最小值为()(A)(B)3(C)(D)四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用,则可源源不断地开发出自己的解题智慧,必能收到事半功倍的效果。【例1】(2008年,广东卷)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【巧解】如图所示,选取边长为2的正方形则,,,,,∴直线的方程为,联立得

8、∴,设,则∴解之得,,∴,故本题选B【例2】已知点为内一点,且0,则、、的面积之比等于()A.9:4:1B.1:4:9C.3:2:1D.1:2:3【巧解】不妨设为等腰三角形,,建

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