浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系

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1、浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系1预备知识1.1二项分布在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的概率是P(A)=p，0

2、次数，且在每次试验中A发生的概率为p。二项分布的数学期望和方差分别是EX=np，DX=np(l一月。1.2泊松分布泊松分布刻画了稀有李件在一段时间内发生次数这一随机变盘的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数.某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数.耕地上单位面积内杂草的数目等。设随机变量x所有可能取得值为0,1,2,-..，而取各个值的概率为P{X=月二兄ke_xk!k=0,1,2,---，其中A.>0是常数，则称X服从参数为兄的泊松分布，记为X一‘(刃。泊松分布的重要性质是它的数学期望和方差都等于参数兄。1.3正态分布设连续型

3、随机变量x的概率密度为:I(x)_1-e一J27rs(x一月产2,5'-000，则称溯及从参数为从口的正态分布或高斯分布，记为X一N(u,a2)。正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2=1时的正态分布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的产密度函数记为(Pkx)-了歹e2r‘，-0o

4、其中任何一个因素都不起决定性作用，则可认为该随机指标[作者简介】于洋(1979-),男，大连人，东北财经大学讲师，硕士学位.研究方向:概率统计、数f经济学。1081“不石e2}rnpg(k-v)'服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都极其重要的原因。1_(、一npl一nP9wlnp-q)2主要结果2.1二项分布与泊松分布之间的关系定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，=.A>0，则对任意给定的m，有P夏a‘戈‘b}(2)事件A在每次试如果辣nPn_。l。一，_一厂飞np(1-p)“戈一nPJnp，一，)_。一

5、np}“np(1-p)jllmC"P(1一。)一羊。一，、一。,1,2...”冲。一K二__{b-np)_{。一，)‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分布b(n,p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即Cpk(1一PT‘二ak，.一一几—匕k!只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X

6、小时近似效果较差，应用时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21).At外，文献[3]还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际应用中.为了减少近似误差.常用这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不佳。二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，当p=0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好了。表

7、1说明了这一情况，其中np=0.02。衰，二项分布与泊松分布的比较P{a‘戈‘小。来代替(2)式。(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、{nP(l_p){一(np(l_p){2.3泊松分布与正态分布之间的关系由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。定理3对任意的a

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