资源描述：
《泛函分析论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、泛函分析结课论文从现代观点來看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间屮最重要的特例被称为希尔们特空间，其上的范数由一个内积导岀。这类空间是量子力学数学描述的基础泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。本册书从第七章开始到第十一章都是有关泛函分析的一些内容，泛函分析中的度量空间、赋范线性空间、内积空问、希尔伯格空间及巴拿赫空间均为极其重要的空间，泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔们特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。要想进一步的学习在这里我们先介绍一下算子的概
2、念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算了。卜•面來说一卜•线性算了：定义:若一个映射T:XtY满足T{ax+0y)=aTx+j3Ty(a,0wK,x,ywX),则称T为从X到Y的线性算了。容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：：T(工匕％)=工刃。••II设T:X^Y是一线性算子，则以下结论成立：(1)任给子空间AuX与子空间3uY,L4与厂叨分别为Y与X的子空间。特别，7(0)=0与R(T)=TX(值域)是Y的子空间；NJ)厂】(0)是X的子空间(称为T的核或零空间)。(2)若向量组g}uX线性相关，贝0{7>,.}亦线性相关；若A是X的子
3、空间且dimAvoo,则dimTAwK,称为x与y的内积，它
4、满足以下内积公理：（1）v,y>的线性性：vax+0z,y>=a>+0>；（2）共轨对称性：=；（3）正定'性：>0;=0«>x=0,（这里x,y,zwH,Q,0wK）,则称H为K上的内积空间。当K=R（或C）吋，K上的内积空间又称为实（或复）内积空间。定理1：K上的赋范空间X是内积空间的充要条件是，其屮的范数满足如下的中线公式（又称为极化恒等式）:卜+）『+
5、卜-歹『=2（卜『+
6、卜『）定理2：设｛e,.：/eN｝是II订bcrt空间H中的标准止交系，则以下条件相互等价：（1）｛©｝是H的标准正交基；（2）｛《｝是H的基木集；（3
7、）｛©｝是极大正交系,即若兀丄弓（ViwN）,则兀=0；（4）对任给的xeH,成立如下的Parseval等式：x2=工
8、<兀,弓>2;i（5）对任给的x,ywH,成立如下内积公式：=^。/在巴拿赫空间屮，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。定里1（实线性空间的Hahn-Banach定里）设是实线性空间，是上的一个次线性泛函，是一个线性子空间，是上的一个线性泛函，满足（1）/（）（①）SP（巧，
9、V・TWx（）则可以延拓成上的线性泛函，且满足（2）几对彳卩仗），勺工&X定理2（复线性空间上的Hahn-Banach定理）设是复线性空间，是上的半模，是一个线性子空间，是上的一个线性泛函，满足（3）lfo（£）
10、Sp（叭VxGXQ则可以延拓成上的线性泛函，且满足（4）1/（^）1<〃（①），Ph&X定理3（Hahn-Banach保范延拓定理）设是B*空间，&）uX线性子空间，/（）是血上的线性连续泛函，则九可以保持范数不变的延拓成X上的线性连续泛函f,即存在/e满足⑴f（x）=/oU）Vx€Xo；（2）ll/ll=ll/oll以上就是我对泛函分析这门课大概知识的理解，我
11、的学习不算精致，但是对与大体上的知识还是有一部分的理解，泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（是泛函分析理论的主要奠基人Z-,而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。泛函分析结课论文学号:10020108班级：10级3班姓名：张雷
