分类讨论思想在解题中的应用1

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1、分类讨论思想在解题中的应用一、方法概论分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高

2、考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2.分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的区域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷

3、归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不

4、同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．5.分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．二、典例剖析例1、（2007·上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数_____________。解析：由（2，1），（3，k），得（1，k－1），由于为直角

5、三角形，则，，都可能为直角，由向量数量积为0，分别有或或，解得或．答案：2点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．例2、已知函数（1）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；（2）求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值.解：（1）由题意，．当时，由，解得或；当时，由，解得．综上，所求解集为．(2)设此最小值为m．①当时，在区间[1，2]上，，因为，，

6、则是区间[1，2]上的增函数，所以．②当时，在区间[1，2]上，，由知．③当时，在区间[1，2]上，．．若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以．若，则．当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或．当时，，故，当时，，故．综上所述，所求函数的最小值例3、设函数f(x)=x2＋｜x－a｜＋1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2＋｜－x｜＋1=f(x)，此时f(x)

7、为偶函数．当a≠0时，f(a)=a2＋1，f(－a)=a2＋2｜a｜＋1.f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2－x＋a＋1=(x－)2＋a＋．若a≤，则函数f(x)在(－∞，a］上单调递减．从而函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f(a)=a2＋1．若a＞，则函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f()=＋a，且f()≤f(a)．②当x≥a时，函数f(x)=x2＋x－a＋1=(x＋)2－a＋．若a≤－，则函数f(x)

8、在［a，＋∞］上的最小值为f(－)=－a，且f(－)≤f(a)；若a＞－，则函数f(x)在［a，＋∞)单调递增．从而函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(a)=a2＋1.综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2＋1；当a＞时，函数f(x)的最小值是a＋．例4．求sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)(n∈Z)的值．解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝si