2019_2020学年高中数学课时达标训练四三角形中的几何计算含解析新人教A版必修

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1、课时达标训练(四) 三角形中的几何计算[即时达标对点练]题组1 三角形中的几何计算1.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )A.           B.C.D.解析:选C ∵S=absinC===abcosC,∴sinC=cosC,即tanC=1.∵C∈(0,π),∴C=.2.在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=8,则△ABC的面积为(  )A.32        B.16C.32或16D.32或16解析:选D 在△ABC中,由正弦定理=,得sinB===,又b>a,∴B=60°或120°.当B=6

2、0°时,C=180°-30°-60°=90°,∴S△ABC=×8×8=32;当B=120°时,C=180°-30°-120°=30°,∴S△ABC=absinC=×8×8×=16.3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为(  )A.    B.3    C.    D.7解析:选A ∵S△ABC=AB·ACsinA=,∴AC=1.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+1-2×2×1×cos60°=3.8即BC=.4.在△ABC中,已知A=60°,AB∶AC=8∶5,面积为10,则其周长为________

3、.解析:设AB=8k,AC=5k,k>0,∴S△ABC=AB·ACsinA=10k2=10,∴k=1,AB=8,AC=5.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=82+52-2×8×5×=49,∴BC=7,∴△ABC的周长为AB+BC+AC=20.答案:205.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足c=2,ccosB+(b-2a)cosC=0.(1)求角C的大小;(2)求△ABC面积的最大值.解:(1)由正弦定理及题意,得sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0.∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,∴si

4、nA-2sinAcosC=0.∵sinA≠0,∴cosC=.∵C∈(0,π),∴C=.(2)由正弦定理,得====4,∴a=4sinA,b=4sinB.又∵A+B=,∴B=-A.∴△ABC的面积S=absinC=4sinAsinB=4sinAsin=2sin+.当A=时,S有最大值,且Smax=3.6.在△ABC中,若B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.解:∵AB=2,AC=2,B=30°,8∴根据正弦定理,有sinC===,又∵AB>AC,∴C>B,则C有两解.(1)当C为锐角时,C=60°,A=90°,∴S△ABC=AB·AC=2.(2)当C为钝角时,C

5、=120°,A=30°,∴S△ABC=AB·ACsinA=.综上可知,△ABC的面积为2或.题组2 三角形中的恒等式证明问题7.在△ABC中,求证:=.证明:法一:左边==·====右边,其中R为△ABC外接圆的半径.∴=.法二:左边=====右边,(cosC≠0)∴=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:-=c8.证明:左边=-=--=--=-.右边=c===-,所以左边=右边,故原等式成立.题组3 三角形中的综合问题9.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,求的取值范围.解

6、:由正弦定理及已知条件,得a2+b2-c2=-ab,∵cosC==-,∴C=.由正弦定理,得==(sinA+sinB).又A+B=,∴B=-A,∴sinA+sinB=sinA+sin=sin.∵0

7、C+cos2C=1,解得cosC=或cosC=1(舍去),从而sinC=,所以S=absinC=ab=a(2-a)=-(a-1)2+.由于a+b=2,所以0

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