资源描述：
《高中数学典型例题解析导数及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.三、经典例题导讲[例1]已知,则.错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设,,则.[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？错解：。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.解： ∴f(x)在x=1处不可导.注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相
2、等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求在点和处的切线方程。错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，..故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程
3、.分析：由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令，得，当时，；当时，，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。点评：在已知曲线切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是
4、方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知，函数，，设，记曲线在点处的切线为.（1）求的方程；（2）设与轴交点为，求证： ①； ②若，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程.解：（1）切线的方程为即...（2）①依题意，切线方程中令y=0得，②由①知，[例6]求抛物线上的点到直线的最短距离.分析：可设为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.解：根据题意可知，
5、与直线x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么,∴∴切点坐标为，切点到直线x－y－2=0的距离，∴抛物线上的点到直线的最短距离为.三、经典例题导讲[例1]已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点的
6、切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率[例2]已知函数在上是减函数，求的取值范围.错解：在上是减函数，在上恒成立，..对一切恒成立，，即，.正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.[例3]当，证明不等式.证明：，，则，当时。在内是增函数，，即，又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由
7、车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解：设BD之间的距离为km,则
8、AD
9、=,
10、CD
11、=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省
12、.点评：这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对
