2020版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积讲义 理（含解析）

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1、第2讲　空间几何体的表面积与体积[考纲解读]　1.掌握与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体积．(重点)2.会用计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容．预测2020年会一如既往的对本内容进行考查，命题方式为：①根据三视图，求几何体的表面积或体积；②涉及与球有关的几何体的外接与内切问题．题型以客观题为主，且试题难度不会太大，属中档题型.1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．柱、锥、台和球的表面积和体积1．概念辨析(1)圆柱的

2、一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　)(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20πB．24πC．28πD．32π答案　C解析

3、　由三视图可得圆锥的母线长为＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.答案　72　32解析　由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2cm，BD＝4cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32cm3，表面积S＝(2×

4、2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72cm2.(3)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　　　.答案　解析　设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.∴＝＝.(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为________．答案　28解析　由已知得此棱台的体积V＝(6＋24＋)×2＝×42×2＝28.题型　空间几何

5、体的表面积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12πB．12πC．8πD．10π答案　B解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S＝2π()2＋2π××2＝12π.故选B.2．(2018·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是(　　)A．20＋8B．24＋8C

6、．8D．16答案　A解析　此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋2)×4＝16＋8，表面积为2×2＋16＋8＝20＋8.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)A．2＋B．4＋C．2＋2D．5答案　C解析　根据三视图画出该空间几何体的立体图：S△ABC＝×2×2＝2；S△ABD＝××1＝；S△CBD＝××1＝；S△ACD＝×2×＝，所以S表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD＝2＋＋

7、＋＝2＋2.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.B.C．13D.答案　C解析　由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2.∴棱台的上底面积为×1×1＝，下底面积为×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为×(1＋2)×2＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝

8、2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝，∴梯形ABB′A′的面积为×(＋2)×＝，∴几何体的表面积S＝＋2＋3＋3＋＝13.题型　空间几何体的体积角度1　根据几何体的三视图计算体积1．(2018·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为(　　)A．15B．16C.D.