2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题5 立体几何 第1讲 小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定学案

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1、第1讲小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定一、主干知识要记牢1．简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高)．(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长)．(5)柱、锥、台体的体积公

2、式V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)，V台＝(S＋＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高)．(6)球的表面积和体积公式S球＝4πR2，V球＝πR3．2．两类关系的转化(1)平行关系之间的转化(2)垂直关系之间的转化3．证明空间位置关系的方法已知a，b，l是直线，α，β，γ是平面，O是点，则(1)线线平行：⇒c∥b，⇒a∥b，⇒a∥b,⇒a∥b．(2)线面平行：⇒a∥α，⇒a∥α，⇒a∥α．(3)面面平行：⇒α∥β，⇒α∥β，⇒α∥γ．(4)线线垂直：⇒a⊥b,　⇒a⊥b．(5)线面

3、垂直：⇒l⊥α，⇒a⊥β，⇒a⊥β⇒b⊥α．(6)面面垂直：⇒α⊥β，⇒α⊥β．二、二级结论要用好1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2．2．棱长为a的正四面体的内切球半径r＝a，外接球的半径R＝a.又正四面体的高h＝a，故r＝h，R＝h．三、易错易混要明了应用空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理时，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定

4、理中m⊂α的限制条件．考点一　空间几何体的三视图1．由直观图确定三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确定．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．1．(2018·湖北联考)将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到(如图2)所示的几何体，侧视图的视线方向(如图2)所示，则该几何体的侧视图为(　D　)解析　点A，B，C，E在左侧面的投影为正方形，CA在

5、左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D．2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　C　)A．1B．2C．3D．4解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所

6、以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C．考点二　空间几何体的表面积与体积1．求解几何体的表面积与体积的技巧(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图．(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式或体积

7、公式计算求解．1．(2018·延边模拟)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为(　A　)A．6π＋12B．6π＋24C．12π＋12D．24π＋12解析　由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一个底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积V＝×π×22×3＋×2×4×3＝6π＋12，故选A．2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　B　)A．90πB

8、．63πC．42πD．36π解析　方法一　(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故