平面向量数量积运算的策略

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1、平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现，而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向疑数量积的运算结果是实数而不是向量，因此要注意数量积运算和实数运算律的差异，本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律屮，有两个形似实数的完全平方和（差）公式在解题中的应川较为广泛,即（日+Id）2=a22a•〃+b2,（a—力）2=a2—2<3•〃+b2上述两公式以及（日+力）（a-b）=a2-b2这一类似于实数平方差的公

2、式在解题过程中可以直接应用.例1已知I曰丨=2,

3、Z?

4、=5,a*b=—3,求丨日+bI,Ia—bI・解析：•・・丨a+b2=（日+b）2=a2+2a・b+F=22+2X（-3）+52=23•IIa+bI=V23,*/（Ia—bI）2=（曰一方）2=a2一2日・b+b2=22—2X（—3）X505,Ia—bI=V35.例2己知丨吕I=8,Ib=10,Ia+b=16,求日与方的夹角0(精确到1°).解析：(

5、a+b1)2=(日+b)'+2白•b+b1=a1+2

6、a・

7、bcos0+b2:.162=82+2X8X10cos〃+l02,23・

8、cos0=一,.•・55°40例3已知a=(3,4),b=(4,3),求y的值使(x豺y方)丄日，且Ixa^ybI=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由臼=(3,4),b=(4,3),有xa^yb=^(3^+4y,4^r+3y)乂(xa^yb｝丄曰O(x&十yb)•a=0O3(3对4尸)+4(4对3尸)=0即25x+24尸0①又Ixa^ybI二loIxa^yb

9、'=1o(3x+4y)'+(4对3y)2=1整理得：25/+48心+25/=1即班25卅240+24小+25./=1②由①②有24^25/=1③将①变形代入③可得：尸土丄

10、24~355724x=——再代回①得：35和51.利用定义直接求解.例4若向量d,乙满足a=h=2,a.b的夹角为45。，贝^a-a+a-b=解析：根据数量积的定义得“d+a•厶=2x2+2x2cos45°=4+2血,例5设向量2©+7勺与向量+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解析:・・・（2低+7云）（云+恳）<0,故2r2+15r+7<0,解之—7v/v—丄.2另有It=/l,7=a,解之r=-^,/L=-V14,2tw（一7,V14~T~（C）陋肚（D）叽PR例6如图，已知正六边形P}P2P3P4PSP6,下列向量的数量积小最大的是（）（

11、A）巫•忌（B）孫•然解析：选项中均有向量P{P2,根据数量积的几何意义，要找桓•丽Q=3,4,5,6）的最大值,只需求丽（i=3,4,5,6）在丽方向上的投影授大即町，画图可知只有岳在忌方向上的投影授大，故授大选A.1.利用数量积的定义、性质、运算律求解例7判断正谋，并简要说明理由.①a・0=0；②0•旨=0；③0—AB=BA：④

12、a・b

13、=

14、^

15、

16、b

17、；⑤若aH0,则对任一非零b有匂•bHO；®a・Z?=0,则刃与〃屮至少有一个为0；⑦对任意向量a,b,c都冇（&•b）c=a（b•c）；⑧玄与b是两个单位向量，则昇=b分析：根据数量积的定义、性质、

18、运算律，逐一判断.解：上述8个命题屮只有③⑧正确；对■于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0•a=0；对于②：应有0・a=0；对于④：由数量积定义有

19、a・b

20、=

21、a

22、・

23、b

24、・

25、cos〃

26、W

27、^

28、

29、b

30、,这里〃是□与b的夹角，只有〃=0或0=jt时，才有丨旨・5丨=丨旨丨・丨/?丨；对于⑤：若非零向量a、b垂直，有同・=0；对于⑥：由a・6=0可知a丄方叫'以都非零；对于⑦：若c共线，记玄=久6则&•b=(Ac)*b=A(c•b)=A(b•c),(同・b)・c=A(b•c)c=〈b•c)Ac=(b・c)a若a与q不共线，贝iJ(*・b)QH(b・c

31、)a.评述：这一类型题，要求学牛确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4•借助零向量.即借助“围成一个封闭图形H.首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8已知厶ABC中，BC=a.CA=b,AB=c,若a•!)=7•c二c•ci,求证：AABC为正三如形.故一(a+b)(b-6/)=0证明：'：b-c=C'a,c(b-a)=0,又Tq+&+c=O,c=-(a+b),知°=4同理可知b=c,故a=b=c,得证.例9已知平面上三点A、B、C满足网=3,岡=4,阿=5则忑说+就•鬲+鬲•五的值等于解析：注意至r：AB

32、+BC+CA=0,两边平方得+2ABBC+2BCC4+2C4屈=0所以^BBC+BCC4+C4