函数中的存在与恒成立专题

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1、恒成立问题专题【1】【一、知识点梳理：】1.逻辑背景：原命题为”办w的否定为与"M,-.P(xy原命题为n3xeM,P(x)n的否定为“VxeM,-1P(x)n2•等价转化思想：不熟系问题熟悉化3•优化策略：分参函数型；结构特征型；【二、经典讲练：】例1:已知不等式兀—2俶+1>0对xg[1,2]恒成立，其中g>0•求实数。的取值范围.分析：思路1、通过化归最值，直接求函数/(x)=r-2ox+l的最小值解决，即/min(x)>0or2+11

2、x2+1思路2、通过分离变量，转化到GV——=丄(兀+丄)解决，即a<(-―)mino2x2x2x思路3、通过数形结合，化归到<+1

3、>加作图解决，即y=#+l图像在)=加的上方.【变式练习:]x2-2or+1>0T疋一2ax+1>0Tlax-2or+1>0,该如何处理?【小结J解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质(最值)或图像进行求解.例2：已知函数f(x)=F-2czx+l,g(x)=—,其中g>0,xHO・X1)对任意氏[1,2],都有f(x)>g(x)恒成立,求实数0的取值范围；2)对任意x,g[1,2],x2g[2,4],都有f(xl)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围;【分析：】1)思路、等价转化为函数/(期一烘兀)>0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2)思路、

4、对在不同区间内的两个函数/(兀)和g(x)分别求最值，即只需满足盒即可.a简解：(1)由x2-2c/^+l——>0nav••成立，只需满足(p(x)=.的最小值大X2宀12宀1jv'+x+1于a即可.对(p(x)=.求导，(px)=—一—_■>0,故°(兀)在xg[1,2]是增函数，2兀+1(2x+1)22%血(兀)=0(1)=一，所以G的取值范围是0VCl<~.例3设函数/7(x)=-+%+Z?,对任意处[丄,2],都有/?(%)<10在兀w[丄,1]恒成立，兀24求实数方的取值范围.分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是

5、通过函数求最值解决.方法1：化归最值，/?(%)<10«/?max(x)<10；、Cla方法2：变量分离，b510-(一+x)或aW-兀〜+(10—b)x；x方法3：变更主元，°(°)=丄a+x+b—lOSO,ae[丄,2]a_(兀_需)匕+需)?=?x2简解：方法1：对h(x)=^(x)+x+Z?=—+%+/?求导，lz(x)=x由此町知，力(兀)在[-41±的最大值为/z(丄)与/?(1)-1>的较人者.44，用)S1O=滋+扫S1O-肚手一％,对于任意g[丄,2],得b的取值范围是比？./?(1)<10[1+g+EO[b<9-a【合作探究J(1)己知f{x)=x^+

6、mx+1试求加的取值范围，使/(x)>3对任意XG[-1,1]恒成立⑵己知/(x)=nr+xm+1试求兀的取值范围，使/(x)>3对任意me[-1,1]恒成立⑶己知/(%)=m2+/?1¥+1试求〃2的取值范围，使/(%)>3对任意xe[-1,1]恒成立⑷己知/(x)=x2+a?u+1试求兀的取值范围，使/(x)>3对任意me[-1,1]恒成立g(〃2)=xm+^x1+1)g(处g(m)g(zn)'当兀>0时-1O~1m当兀=0时-1O1m当*0时【能力形成:】1.L2010绍兴一模理第17题改编】在区间[t,t+l]±满足不等式

7、疋-3/+1

8、51恒成立，求实数t的取值范

9、围.2•对于任意的xw,不等式/?sin2x+cos4x<2sin2%恒成立，则实数#的取值范围为3.【洪翔中学（）8・（）9学年高一上学期期中】已知函数/（x）二处？+兀，（aeR^a0）（1）对于任意的实数石,勺，比较+/也）］与/（士电）的大小；22（2）若兀訂0,1］时，有

10、/（x）

11、<1,求实数Q的取值范围。解・（1）*［/（州）+/（尤2）］一/（E2^）=彳（兀1一兀2）2当g>o时，

12、r/（xI）+/（x2）i-/（^^）>o,即扣3）+心）］,宁）；当QV0时，*［/（坷）+/（兀2）〕5/（迸仝）o（2）vxg［0,1］ax^+x<1ax2+x>-1.

13、-2

14、f（x）

15、<1又•/a#0,.-2