2019-2020年高考数学复习《两平面的平行的判定和性质》典型例题

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1、2019-2020年高考数学复习《两平面的平行的判定和性质》典型例题例1：已知正方体．求证：平面平面．证明：∵为正方体，∴， 又平面，故 平面．同理 平面．又 ，∴平面平面．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知，，．求证：．证明：过直线作一平面，设，．∵∴又∴在同一个平面内过同一点有两条直线与直线平行∴与重合，即．说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，，．求证：与相交．证明：在上取一点，过和作平面，

2、由于与α有公共点，与有公共点．∴与、都相交．设，．∵∴又、、都在平面内，且和交于．∵与相交．所以与相交．典型例题四例4：已知平面，，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点．求证：，．证明：连接并延长交于．∵∴ ，确定平面，且，．∵，所以 ，∴，又 ，，∴△≌△．∴．又，∴，．故 ．同理说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6　如图，已知矩形的四个顶点在平面上的射影分别为、、、，且、、、互不重合，也无三点共线．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴不妨设和确定平面．同理和确定平面．又，且∴同理又∴又，∴．同理．∴四边形是平行四边形．典型例题七例7　设直线、，平面、，下

3、列条件能得出的是（　　）．A．，，且，　　B．，，且C．，，且　　　　　　D．，，且分析：选项A是错误的，因为当时，与可能相交．选项B是错误的，理由同A．选项C是正确的，因为，，所以，又∵，∴．选项D也是错误的，满足条件的可能与相交．答案：C说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8　设平面平面，平面平面，且、分别与相交于、，．求证：平面平面．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如

4、图）．证明：在平面内作直线直线，在平面内作直线直线．∵平面平面，∴平面，平面，∴．又∵，，，∴平面平面．说明：如果在、内分别作，，这样就走了弯路，还需证明、在、内，如果直接在、内作、的垂线，就可推出．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9　如图所示，平面平面，点、，点，是、的公垂线，是斜线．若，，、分别是和的中点，(1)求证：；(2)求的长．分析：（1）要证，取的中点，只要证明所在的平面．为此证明，即可．(2)要求之长，在中，、的长度易知，

5、关键在于证明，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结，设是的中点，分别连结、．∵是的中点，∴．又，∴．同理∵是的中点，∴．∵，∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．(2)分别连结、．∵，，又∵是、的公垂线，∴，∴≌，∴，∴是等腰三角形．又是的中点，∴．在中，．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角

6、相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设、是平面内两条相交直线．(1)若、都在平面内，、与平面所成的角都为，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若、都与平面相交成等角，且所成角在内；∵、与有公共点，这时与相交．若、都与平面成角，则，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若、都与平面平行，则、与平面所成的角都为，内有两条直线与平面平行，这时．综上，平面、的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11　试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：，求证：过有且只有一个平面．分析：“有且只有”要准确理解，要先

7、证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面内任作两条相交直线和，则由知，，．点和直线可确定一个平面，点和直线可确定一个平面．在平面、内过分别作直线、，故、是两条相交直线，可确定一个平面．∵，，，∴．同理．又，，，∴．所以过点有一个平面．假设过点还有一个平面，则在平面内取一直线，，点、直线确定一个平面，由公理2知：，，∴，，又，，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面只有一个．所以过