2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.3诱导公式二学案湘教版必修2

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1、3.2.3　诱导公式(二)[学习目标]　1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．[知识链接]1．2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．2．在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有sinα＝，cosα＝，

2、sin＝，cos＝.根据上述结论，你有什么猜想？答　sin＝cosα；cos＝sinα.3．若α为任意角，那么－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？答　角α的终边与－α的终边关于直线y＝x对称．[预习导引]1．诱导公式五～六(1)公式五：sin＝cosα；cos＝sinα；sin＝cosα；cos＝－sinα.(2)公式六：tan＝cotα；tan＝－cotα.2．诱导公式五～六的记忆－α，＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.要点一　利用

3、诱导公式求值例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值．(2)已知cos＝，求cos·sin的值．解　(1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，又α为第一象限角．则cos＝－sinα＝－＝－＝－.(2)cos·sin＝cos·sin＝－cos·sin＝－sin＝－cos＝－.规律方法　这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用

4、角的变换来解决问题．跟踪演练1　已知sin＝，求cos的值．解　∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.∴cos＝cos＝sin＝.要点二　利用诱导公式证明恒等式例2　求证：＝－tanα.证明　左边＝＝＝＝＝－＝－tanα＝右边．∴原等式成立．规律方法　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪演练2　求证：＝.证

5、明　左边＝＝＝＝＝＝.右边＝＝＝.∴左边＝右边，故原式成立．要点三　诱导公式的综合应用例3　已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos＝－sinα，∴sinα＝－，又α是第三象限的角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.(3)f＝－cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－.规律方法　这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可

6、避免公式交错使用而导致的混乱．跟踪演练3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．解　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sin＝sin，∴sin＝sin，∴sin(－C)＝sin(－B)，∴cosC＝cosB.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B.∴△ABC为等腰三角形.1．已知sin＝，则cos的值为(　　)A．－B.C.D．－答案　D解析　cos＝cos＝－sin＝－.2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用

7、m表示为(　　)A.B.C.D．－答案　C解析　sin(α－180°)－sin(270°－α)＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]＝－sinα＋sin(90°－α)＝cosα－sinα＝m，sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sinα·(－cosα)＝sinαcosα＝[1－(cosα－sinα)2]＝.3．式子cos2＋cos2＝.答案　1解析　原式＝sin2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.4．已知cos＝2sin，求的值．解　∵cos＝2sin，∴－sinα＝－2sin，∴sin

8、α＝2cosα，即tanα＝2.∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的