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1、中学物理Vol.30No.132012年7月玩转/旋转矢量法0吴梦雷(江苏省扬州中学江苏扬州225009)做简谐振动的物体,其位移y随时间t呈正弦规律变化,+<0),如图1所示.当M点从参考圆的最右端开始逆时针匀函数表达式y=Asin(Xt+<0),除了位移以外,另外两个矢速转动时,这个竖直的速度分量在一个周期内先减小,再反量,速度v和加速度a随时间也按正弦(余弦)规律变化,数向增大,反向减小,正向增大,正好对应着图4中的小球从平学基础较好的学生可对位移分别求一阶导数和二阶导数得衡位置O开始在向上振动的情况,非常的直观.出这两个矢量的表达式,速度v=yc=XA#cos(Xt+<0),n22加速
2、度a=y=-XA#sin(Xt+<0)=-Xy,继而可作出一个周期内三个矢量变化的函数图象,了解和分析简谐振动的情况.上述的方法称为代数法,虽然看起来简洁明了,但对于微积分知识匮乏的高中学生来讲还是不太容易掌握的.下面我们来引入一种更为简单易懂的描述方法.1旋转矢量图示法如图1所示,A是一个长度不变的矢量,起点在x轴的原如图5,矢量A的端点M做匀速圆周运动的加速度沿半点处.t=0时,A与x轴的夹角为<0,矢量A以匀角速度X作22径指向圆心,其大小等于XA,其竖直分量大小为XA#逆时针转动,因此,矢量A在任意时刻t与x轴的夹角为Xt+sin(Xt+<0),方向竖直向下,和图6小球的加速度一致,在
3、一<0.矢量A在y轴上的投影为y=Asin(Xt+<0).可见匀速个周期内也是完全相同的.旋转矢量在y轴上的投影对应着一个简谐振动.如图2,可假想有一个小球在竖直平面内逆时针匀速转动,一束平行光从左边射来,小球在右边的墙壁上留下一个上下移动的影,此影的运动又可等效为一竖直方向的弹簧振子,此弹簧振子的位移矢量即图1中矢量A的竖直分量y=Asin(Xt+<0).在图1中,旋转矢量A的长度就是图2中弹簧振子简谐振动的振幅.A的角速度X就是图2中小球转动的角速度,也是简谐振动的圆频率.A的矢端迹是个以A为半径的圆,称作简谐振动的参考圆.A与x轴的夹角就是简谐振动的相位,因而也称相角,t=0时的初相角就
4、是简谐振动的初相位<0.相角Xt+<0决定A的端点在参考圆上的位置,从而也决结论(1)矢量A在y轴上的投影对应着位移;(2)矢量定了A在y轴上的投影.因此,相位是决定简谐振动运动状A的端点M,其线速度在y轴上的投影对应着速度;(3)矢量态的物理量.A的端点M,其加速度在y轴上的投影对应着加速度.2旋转矢量法的应用举例题1一根弹性轻绳AB的自然长度为l0=1m.若在B端悬挂质量m=0.2kg的小球,则小球的平衡位置在B下方的O点,BO=lc=1m.现在把小球托升到A点,然后放手任其下落.问经过多少时间,小球返回到A点?(设弹性绳服从胡克定律)分析小球的运动不是熟悉的匀变速直线运动,在整个过程中其
5、加速度是变化的,有点像简谐运动但又不完全是.设矢量A的端点为M,其速度沿参考圆的切线,大小为解答设O点是小球的平衡位置,此位置弹性绳的伸XA,考虑到长量为lc,由二力平衡,易得v=yc=XA#cos(Xt+<0),mg=klc,很容易看出,M点速度的竖直分量正好就是XA#cos(Xt代入数据解得劲度系数k=2NPm.#61#2012年7月Vol.30No.13中学物理小球从ByOyCyOyB可视为简谐振动的一部悬线与竖直方向的夹角,将x、A代入上式,lH=A#sin(Xt+分,设OC=x.P2PP),整理得到H=Asin(t+).2T2从AyC,由动能定理可得作H~t图象,如图10,摆的周12
6、mg(l0+lc+x)=2k(lc+x),期T1=T-$t,T为没有墙时候的得x=3m.周期.而从ByCyB的过程视为简谐运动的一部分,取一大取一大小等于A的矢量作参考2C小等于3m的矢量从x轴逆时针匀速旋转,其竖直投影即视圆,如图11,$t=,此为因撞墙损X为题中小球的位移,显然小球从ByCyB的过程对应着图失的时间.显然8中矢量从左侧实线位置沿逆时针方向旋转到右侧虚线位置2P-2C2BT1=T-$t==(P-arccos),的过程,左右对称,设与x轴的夹角为H,XXAlc3所以T1=1-1arccosB.sinH=x=3,TPA7例3在真空中速度为v=6.4@10mPs的电子束连续3H=a
7、rcsin,-23地射入平行极板之间,极板长度为l=8.0@10m,间距为-3所以小球从ByCyB的时间d=5.0@10m,两极板不带电时,电子束将沿两极板之间33的中线通过,在两极板上加一50Hz的交变电压u=P+2arcsinP+2arcsintP+2H33U0sinXt,如果所加电压的最大值U0超过某一值UC时,将BCB===X2Pk开始出现以下现象:电子束有时能通过两极板,有时间断不Tme
