房贷计算推导及其现值计算方法.pdf

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1、假设贷款总额为A，分n期还款，每期利率为α。设每期还款本息为r(repayment)，其中的本金为Ii(interest)，利息为Ii(interest)。第i期还款后，剩余本金为ui(unpaid)。1.等额本息还款法:第一期，I1=Aα(1)p1=r−I1(2)u1=A−p1(3)由以上3式，可得u1=A1+α−r(4)自第二期开始，都有Ii=αui−1，(5)pi=r−Ii，(6)ui=ui−1−pi(7)由以上3式，可得ui=ui−11+α−r(8)现根据以上条件，计算每期还款本息r。根据(8)式的形式，可设ui+k=1+αu

2、i−1+k，r将其展开，对比(8)式，则可解得k=−αrr因此，数列ui−是一个首项为u1−，公比为1+α的等比数列。结合(4)式可得ααrru−=A1+α−r−1+αi−1iαα将其整理，得第i期还款后，剩余本金ui的表达式r(9)u=A1+αi−1+αi−1iα显然，当最后一期还款结束后，剩余欠款为0，故un=0。将其带入上式，得rA1+αn−1+αn−1=0α由此可解得每期应还本息的表达式Aα1+αnr=(10)1+αn−1此即为每期应还本息。以上关于r的计算式也可由以下方法求解。由前面的(4)式和(8)式，可得u1=A1+α−

3、ru=1+αu−r=1+αA1+α−r−r=A1+α2−r1+α−r21u=1+αu−r=1+αA1+α2−r1+α−r−r=A1+α3−r1+α2−r1+α−r32……i23ii1+αi−1ui=A1+α−r1+α+1+α+1+α+⋯+1+α=A1+α−rαn1+αn−1显然，un=0，即A1+α−r=0，α由此解得每期应还本息的表达式Aα1+αnr=1+αn−1解得r后，将其代入到上面的(9)式，可得到第i期还款后，剩余本金ui的表达式1+αi−1u=A1+αi−A1+αn∙(11)i1+αn−1现计算第i期还款利息Ii及还款本金

4、pi。将上述ui和r的表达式，代入（5）式，整理得Aα1+αn−1+αi−1Ii=n(12)1+α−1将上述表达式，以及r的表达式，代入（6）式，整理得Aα1+αi−1pi=n(13)1+α−1根据等额本息还款法的定义及（10）式，显然可知，整个还款期内的本息总额为1+αnrtotal=Aαn∙n(14)1+α−1显然，整个还款期内的利息总额为1+αnItotal=Aαn∙n−1(15)1+α−1上述Ii的表达式（12）为一等比数列，计算该等比数列的前n项和，也可得到上式。2.等额本金还款法：每期还款本金为Ap=(16)n第i期还款后

5、，剩余本金为Aui=A−i(17)nA第i期还款利息为Ii=αA−i−1，整理得ni−1Ii=Aα1−(18)nAi−1第i期还款本息为ri=+Aα1−，整理得nnAAαri=1+nα−i−1(19)nn整个还款期内的利息总额为AαItotal=n+1(20)2整个还款期内的本息总额为αrtotal=A1+n+1(21)23.还款现值考虑到未来的通货膨胀，现将未来所有的还款折算到放贷日的现值。在每期时长为一个月的情况下，设整个还款期内的平均月通胀率为β，即折现率为β，将未来第i期的还贷本息ri折算到放贷日的现值为vi，则显然有rivi

6、=i(22)1+β1)对于等额本息还款法，ri为定值r，其表达式为Aα1+αnr=（10）1+αn−1第i期的月供还贷本息的现值为α1+αn1vr,i=A∙1+αn−1∙1+βi(23)该式可看成3项的乘积，分别为本金、利率对还贷的影响、折现对还贷的影响。这是一个等比数列，可求得其前n项和，即整个n期的还款期内的还贷本息的现值总额为α1+αn11vr,total=A∙1+αn−1∙β1−1+βn(24)2)对于等额本金还款法，其ri的表达式为AAαri=1+nα−i−1（19）nn故等额本金还款法第i期的月供还贷本息的现值为AAα1v

7、r,i=1+nα−i−1∙inn1+β将其整理，得A1+nαAαi−1vr,i=n1+βi−n∙1+βi(25)这可看成是一个等比数列加上一个等差数列与等比数列的乘积。可求得其前n项和，即整个n期的还款期内的还贷本息的现值总额为A11Aα11+βnvr,total=n1+nα∙β1−1+βn−n∙β21−1+βn(26)