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1、第七章多元函数微积分§7.5高阶偏导数与高阶全微分y∫lnxdx=xlnx−x+Cxo一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数∂z∂z=f(x,y,)=f(x,y)xy∂x∂y若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有四个二阶偏导数。2∂∂z2∂∂z∂z∂z()==fx′′x(x,y);()==fx′′y(x,y)∂x2∂x∂x∂y∂x∂x∂y22∂∂z∂z∂∂z∂z()==fy′′x(x,y);()=2=fy′′y(x,y)∂x∂y∂y∂x∂y∂y
2、∂y323例1.求z=xy−2xy−xy−3的二阶偏导数.解∂z223∂z32=3xy−2y−y,=2xy−6xy−x.∂x∂y2∂z∂⎛∂z⎞2=⎜⎟=6xy,2⎜⎟∂x∂x⎝∂x⎠2∂z∂⎛∂z⎞22=⎜⎟=6xy−6y−,1∂x∂y∂y⎜⎝∂x⎟⎠∂2z∂2z2=∂z∂⎛∂z⎞=⎜⎜⎟⎟=6x2y−6y2−1∂x∂y∂y∂x∂y∂x∂x⎝∂y⎠2∂z∂⎛∂z⎞3=⎜⎟=2x−12xy.2⎜⎟∂y∂y⎝∂y⎠定理.22∂Z∂Z,如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数∂x∂y∂y∂x在区域内D连续，
3、那么这两个二阶混合偏导数22∂Z∂Z在区域D内相等。即:=.∂x∂y∂y∂x例2.2222∂z∂zz=f(xy,x−y),求,,f(u,v)有二阶连续偏导数.2∂x∂x∂y∂z2222解=f（′xy,x−y)⋅y+f′(xy,x−y)⋅2x12∂x2∂z[]22'=y⋅f（′xy,x−y)21x∂x⎡⎤22()22'+⎢2f2′(xy,x−y)+2xf2′(xy,x−y)x⎥⎣⎦[2222]=y⋅fy（′′xy,x−y)+2xf（′′xy,x−y)1112[22(2222)]+2f′(xy,x−y)+2
4、xfy′′(xy,x−y)+2fx′′(xy,x−y)2212222=2f′+yf′′+4xyf′′+4xf′′.21121222222∂z∂zz=f(xy,x−y),求,,f(u,v)有二阶连续偏导数.2∂x∂x∂y∂z2222解=f（′xy,x−y)⋅y+f′(xy,x−y)⋅2x12∂x2∂z∂⎛∂z⎞=2222⎜⎟=f（′xy,x−y)+y⋅[]f（′xy,x−y)'11y∂x∂y∂y⎝∂x⎠()22'+2xf′(xy,x−y)2y22[2222]=f（′xy,x−y)+y⋅xf（′′xy,x−
5、y)−2fy（′′xy,x−y)11112(2222)+2xfx′′(xy,x−y)−2fy′′(xy,x−y)212222=f′+xyf′′+(2x−y)f′′−4xyf′′.11121222x−y−z∂z例3.方程x+2y+z=e确定了隐函数z=z(x,y),求.∂x∂yx−y−z解方程可变为F(x,y,z)=x+2y+z−e=.0x−y−z∂zF′1−ex+2y+z−12x则=−=−==1−.x−y−z∂xF′1+ex+2y+z+1x+2y+z+1z∂zF′2+ex−y−zx+2y+z+21y=−
6、=−=−=−1−.x−y−z∂yFz′1+ex+2y+z+1x+2y+z+1⎛∂z⎞∂2z∂⎛2⎞2⎜⎜2+⎟⎟=1−⎝∂y⎠⎜⎜⎟⎟=∂x∂y∂y⎝x+2y+z+1⎠xyz2(+2++)1⎛1⎞2⎜⎜1−⎟⎟∂2z⎝x+2y+z+1⎠2(x+2y+z)===23(x+2y+z+)1(x+2y+z+)1∂y∂x内容小结设z=f(x,y)在域D内存在偏导数∂z∂z一阶偏导数：=fx(x,y,)=fy(x,y)∂x∂y二阶偏导数：2∂∂z2∂∂z∂z∂z()==fx′′x(x,y);()==fx′′y(x,
7、y)∂x2∂x∂x∂y∂x∂x∂y22∂∂z∂z∂∂z∂z()==fy′′x(x,y);()=2=fy′′y(x,y)∂x∂y∂y∂x∂y∂y∂y定理.22∂Z∂Z如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数,∂x∂y∂y∂x在区域内D连续，那么这两个二阶混合偏导数22∂Z∂Z在区域D内相等。即:=.∂x∂y∂y∂x再见二、高阶全微分考虑zfxy=(,)的全微分d(zfxyxfxyy=+′′,)d(,)dxy当它作为xy,,的函数仍然可微时称dz的全微分2d(d)zzf为=(,)xy二阶全微分记为,d.z∂
8、(d)z∂fx′∂fy′=+ddxy=fxx′′ddxfy+yx′′∂∂∂xxx∂(d)z∂fx′∂fy′=+ddxy=+fxy′′′ddxfyyy′∂∂∂yyy2∂∂(d)zz(d)由可dddzxy=+求得∂∂xy222d(z=++fxfx′′d)2′′dd(yfy′′d)xxxyyy222ddzfxfxyfy=+′′2′′ddd(+′′7−17)xxxyyy对三元函数ufxyz=(,,),有2222ddddufxfyfz=++′′′′′
