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1、前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）y(xy)ln(1)1．计算xdxdy16/15，其中区域D由直线xy1与D1xy两坐标轴所围成三角形区域.01解:令xyu,xv，则xv,yuv，dxdydetdudvdudv，1121udu（*）01u令2t1u，则u1t2242du2tdt，u12tt，u(1u)t(1t)(1t)，222．设f(x)是连续函数，且满足f
2、(x)3xf(x)dx2,则0f(x)____________.22解:令Af(x)dx，则f(x)3xA2，022A(3xA2)dx82(A2)42A,04210解得A。因此f(x)3x。332x23．曲面zy2平行平面2x2yz0的切平面方程是2__________.解:因平面2x2yz0的法向量为(2,2,1)，而曲面2x2zy2在(x0,y0)处的法向量为2(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)与(2,2,1)平行，因此，由zxx，zy2y知2zx(x0,y0)x0,2zy(x0
3、,y0)2y0，即x02,y01，又z(x0,y0)z(2,1)5，于是曲面2x2yz0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2x22(x2)2(y1)(z5)0，即曲面zy2平行平面22x2yz0的切平面方程是2x2yz10。4．设函数f(y)yyy(x)由方程xeeln29确定，其中f具有二阶导数，2dy且f1，则________________.2dx解:方程f(y)yxeeln29的两边对x求导，得yf(y)11因eln29xe，故f(y)yy，即y，因此xx(1f(y))x2xnxe二、（5分）求极限eeex，其中lim(
4、)n是给定的正整数.x0n解:因故因此1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)f(xt)dt，且limA，A为0x0x常数，求g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.f(x)解:由limA和函数f(x)连续知，x0xf(x)f(0)limf(x)limxlim0x0x0x0x11因g(x)f(xt)dt，故g(0)f(0)dtf(0)0，001x因此，当x0时，g(x)f(u)du，故0x当x0时，1xf(x)g(x)f(u)du，20xx这表明g(x)在x0处连续.四、（15分）已知平面区域D{(x,y)
5、0x,0y}，L为D的正
6、向边界，试证：sinysinxsinysinx（1）xedyyedxxedyyedx；LLsinysiny52（2）xedyyedx.2L证:因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知sinysinxsinysinx（1）xedyyedx(xe)(ye)dxdyxyLD而D关于x和y是对称的，即知因此（2）因故由知sinysiny52即xedyyedxL2x2xxxx2xx五、（10分）已知y1xee，y2xee，y3xeee是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.x2xxxx2xx解设y1xee，y2xee，y3xee
7、e是二阶常系数线性非齐次微分方程x2xx的三个解，则y2y1ee和y3y1e都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此ybycy0的特征多项式是(2)(1)0，而ybycy0的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为yy2y0，由y1y12y1f(x)和xx2xxx2xy1exe2e，y12exe4e知，xx2xxx2xx2xf(x)y1y12y1xe2e4e(xee2e)2(xee)二阶常系数线性非齐次微分方程为2六、（10分）设抛物线yaxbx2lnc过原点.当0x1时,y0,又1已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面积为.试确定a,b
8、,c,使3此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.2解因抛物线yaxbx2lnc过原点，故c1，于是即而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积即令218V(a)a(12a)(1a)0，5327得即因此53a,b,c1.42n1xe七、（15分）已知un(x)满足un(x)un(x)xe(n1,2,),且un(1),n求函数项级数un(x)之和.n1解n1xun(x)un(x)xe，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此e1由un(1)e(C)知，C0，nn于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令x0，得0S(0)C，因此级
9、数un(x)的和n12八、（10分）求nx1时,与x等价的无穷大量.n022tt解令f(t)x，则因当0x1，t(0,)时，f(t)2txlnx0，故
