n维向量组的极大线性无关组.ppt

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1、3.4向量组的极大线性无关组问:其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量?定义1若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示，若向量组和可以互相线性表示，则称两个向量组等价一、等价的向量组向量组可由线性表示，即向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使若向量组和等价等价向量组的性质：1.自反性：一个向量组与其自身等价2.对称性：若向量组和等价，则向量组和等价。3.传递性：若向量组和等价，向量组和等价，则向量组和等价。定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示，且，则向量组线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：1.,不能相等;2

2、.时，结论不一定成立.（证明略）推论1若向量组可由向量组线性表示，又已知线性无关，则必有推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它们所含的向量个数相等注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等定理1的逆否命题：极大线性无关组等价定义二　极大线性无关组定义如果一个向量组A的一个部分组满足下述条件：1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.向量组和其极大线性无关组等价(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。注:三向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线

3、性组合关系定义一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩.线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.例2等于它的行向量组的秩.定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也求向量组的最大无关组的步骤:例3：设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合解：取(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。(2)为向量组的一个极大线性无关组(3)推论：设A为矩阵，秩，则有:(1)当r=m时，A的行向量组线性无关;当r

4、r=n时，A的列向量组线性无关;当r

5、,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b则有x1+x2=(1+1)a+(1+2

6、)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间.是一个向量空间.因为若由向量组a1,a2,...,am所生成的向量空间一般形式为L={x=1a1+2a2+...+mam

7、1,2,...,mR}.二、向量空间的基向量空间的维数定义2设有向量空间V1及V2,若V1V2,总有VRn,所以这样的向量空间总是Rn的子空间.例如：任何由n维向量所组成的向量空间V,就称V1是V2的子空间.向量空间.定义3设V为向量空间,如果r个向量a1,a2,...,arV,且满足(i)a1,a2,...,ar线性无关;

8、(ii)V中任一向量都可由a1,a2,...,ar线性表示.那么,向量组a1,a2,...,ar就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.