高三导数与函数的极值.ppt

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1、第二章函数、导数及其应用第十二节导数的应用(一)抓基础明考向提能力教你一招我来演练二、函数的极值与导数1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞02．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统

2、称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.答案：D1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．53．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个变式上述图像为f(x)的图像则该函数的极值情况如何？解析：若f′(x)>0，则f(x)单调递增；若f′(x)<0，则f(x)单调递减．极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)<0

3、→f′(x)＝0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．答案：A1．f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′

4、x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3求函数极值的步骤1已知函数f(x)＝x2＋3x－2

5、lnx，求函数f(x)的极值(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

6、x)在区间（a,b)上有极值等价于方程在该区间上有根且非等根解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，即2ax≥3x2.∵x>0,2a≥3x，∴2a≥6.∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．[冲关锦囊]求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.[精析考题][例3](2012·兰州调研)已知实数a>0

7、，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．[冲关锦囊]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．解题样板（三）导数应用问题的规范解答[高手点拨]在解答本题时，易误点是：一是求导后不会因式分解；二是由增函数得出3ax2＋3ax－1<0；三是对a的值不加讨论；四是当a<0时，不会求a的范围．在解答解答题时，要注意以下几点：(1)审题的规范性：明确条件，分析条件与

8、目标的联系，确定解题思路．(2)语言叙述的规范性：要注意解题的步骤清楚，正确完整，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现象．(3)答案的规范性：解完题目要准确写出答案，特别对分类讨论问题一定要将答案整合点击此图进入