线性代数课件-2.5 逆矩阵.ppt

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1、§2·5逆矩阵在实数运算中,若a≠0,则总能找到一个数b,使得ab=ba=1,称b为a的逆。定义2·14对于n阶方阵A,若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵,简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。定义2·14的说明:(1)逆矩阵只对方阵而言,且B与A为同阶方阵(2)A、B互为逆矩阵。(3)若A可逆,则其逆矩阵是唯一的(因为若B、C都是A的逆矩阵,则有AB=BA=E,AC=CA=E于是B,即记为即若则=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C)例如由于=E且=E所以A可逆,B为A的逆矩阵即同时【例1】设对角矩阵,其中证明A可逆,且证明:因为=E且=E所

2、以,A可逆,且[例(补)]设方阵A满足证明2A+E可逆,且故2A+E可逆,且且证明:因为逆矩阵的运算公式:3、若A可逆,则可逆,且2、若A可逆,则1、若A可逆,则4、若A可逆,数则可逆,且5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且3、若A可逆,则可逆,且证明:且即故可逆,且4、若A可逆,数则可逆,且证明:且即故可逆,且注意:若A、B不是同阶方阵,该结论不成立5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且证明:且即故AB可逆。且因为当时,但A-1和B-1没意义AB为n阶方阵,AB有可能可逆,判断题:1、若A、B都是可逆矩阵,则A+B也是可逆矩阵。

3、2、若AB是可逆矩阵,则A、B也都是可逆矩阵。3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵,则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。4、若A是可逆矩阵,且AX=AY,则X=Y√××(因为A、B有可能都不是方阵)√证明题:设方阵A满足证明A可逆,且故A可逆,且且因为§2·5逆矩阵定义2·14对于n阶方阵A,若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵,简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。,即记为定义2·14的说明:(1)逆矩阵只对方阵而言,且B与A为同阶方阵(2)A、B互为逆矩阵。(3)若A可逆,则其逆矩阵是唯一的即若则上堂课主要内容:逆矩阵的运算公式:3、若A可逆,则可逆,

4、且2、若A可逆,则1、若A可逆,则4、若A可逆,数则可逆,且5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且定义2·15设是n阶方阵A的行列式中元素的代数余子式,称矩阵为矩阵A的伴随矩阵元素的代数余子式=一个数Tn-1阶行列式例如则对有使得且即0…00…000…………定理2·1n阶方阵A可逆的充要条件是且当A可逆时证明则存在,使得必要性:已知A可逆,又因为充分性:已知,由关系式即A可逆,且例:判断矩阵若可逆,求其逆。所以A可逆,所以是否可逆,解因为且=1≠0【例2】设,判断A是否可逆,若可逆,求其逆。解:=5≠0,A可逆。且所以课堂练习设,判断A

5、是否可逆,若可逆,求其逆。解:所以A可逆,推论若A、B为同阶方阵,且AB=E,则A、B均可逆,且证明:因为A、B为同阶方阵且AB=E有由定理2·1知,A、B均可逆在等式AB=E的两边左乘得在等式AB=E的两边右乘得【例(补)】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3,证明E-A可逆,且证明:可逆,且由推论知:【例3】设方阵A满足证明A及A+2E可逆,并求它们的逆。证明:故A可逆,且又故A+2E可逆,且=O=O由【例4】设分块矩阵,其中A为k阶可逆方阵,B为k×r阶矩阵,C为r阶可逆矩阵,O为r×k阶矩阵。证明矩阵H可逆,并求其逆。证明:因为A

6、、C可逆,所以于是即H可逆设其中X11、X22分别是与A、C同阶的方阵则有即故(A、C可逆)特别地,当B=O,且A、C可逆时有推广至准对角矩阵,有若,Ai为可逆方阵则A可逆,且【例(补)】Cramer法则的另一种证明方法定理1·6(Cramer法则)若n元线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解,且解为AX=B,A为n阶方阵系数行列式A可逆方程AX=B两边左乘,即即是方程组的一个解。若Y也是方程组的一个解,则有AY=B即是方程组的唯一解。判断题:1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异的2、若A2不可逆,则A一定不可逆3、设A为n阶方阵,且

7、,若存在B,使AB=O成立,则有B=O。√因为A可逆的A是非奇异的√因为若A2不可逆,则,A不可逆√因为若,则A可逆则有A-1AB=A-1O成立,即B=O【例(补)】设A为n阶可逆方阵(1)求(2)证明A*可逆,并求其逆解:因为A可逆,所以(2)由即A*可逆,且(1)由补充习题:设方阵A满足,证明A-6E及A+4E可逆,并求它们的逆。归纳:主要概念:其中是A的行列式中元素的代数余子式2、伴随矩阵:对n阶方阵A,有1、逆矩阵:对于n阶方阵A,若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵,简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。,即记为伴随矩阵逆矩阵的运算公式:

8、3、若A可逆,则可逆,且2、若A可逆,则1、若A可逆,则4、若A可逆,数则可逆,且5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且1、n阶方阵A与其伴随矩阵的关系2、n阶方阵A可逆的充

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