典型例题与习题3.ppt

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1、《数值分析》典型例题III五、六章内容提要典型例题分析部分习题解答补充练习题若插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,···,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且惟一。多项式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基(k=0,1,2,······,n)插值误差余项其中,问题1:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。已知x0,x1,···,xn处的值f(x0),f(x1

2、),···,f(xn).(j=0,1,…,n-1)(j=0,1,…,n-2)均差的定义牛顿插值公式(k=1,2,···,n)问题2:证明一阶差商的对称性：f[x0，x1]=f[x1，x0]，进一步证明二阶差商的对称性。牛顿插值余项(j=0,1)三次Hermite插值给定[a,b]的分划:a=x0

3、,n).则称S(x)为三次样条插值函数.三次样条的定义拟合函数:(x)=a00(x)+a11(x)+······+ann(x)数据拟合的线性模型离散数据xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym超定方程组超定方程组最小二乘解:Ex1.设x0，x1，……，xn是互异的插值结点，l0(x)为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明xx0x1··········xnf(x)10··········0证由基函数插值条件计算差商··················代入牛顿插值

4、公式,并注意插值误差为零,则有Ex2.设x0,x1,x2,…,xn为互异的结点,求证Lagrange插值基函数满足下列恒等式(1)(2)(k=1,···,n)证:(1)令在插值结点处Pn(xj)=0(j=0,1,2,···,n)n次多项式Pn(x)有n+1个相异零点Pn(x)=0所以将f(x)=xk(k≤n)代入,得(k=0,1,2,······,n)问题:f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明：f(x)=Pn(x)+(

5、x–x0)(x–x1)……(x–xn)(2)取f(x)=xkf(n+1)(x)=0Rn(x)=0Ex3.设P(x)是不超过n次的多项式,而n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)证明存在常数Ak(k=0，1，…，n)使得证由n次多项式插值得其中证明:F[x0,x1,······,xn]=Ex4.记n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)(j=1,2,···,n)对比Lagrange插值和Newton插值中xn的系数,得F[x0,x1,······,x

6、n]=Ex5.2次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f’(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。思考:带导数条件的二次插值多项式公式适定性f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；解:设H(x)=a0+a1x+a2x2,H’(x)=a1+2a2xEx6.求矩阵广义逆G+=(GTG)-1GTEx7.求矩阵条件数Cond=Ex8*.设利用分部积分法证明Ex9.如果x∈[a,b],t∈[-1,1],(1)用线性插值方法推导联系两个区间的映

7、射(2)对于t∈[-1,1]上的二次正交多项式将其转换为x∈[a,b]上的二次正交多项式Ex10.一个量x被测量了n次,其结果是a1,a2,···,an.用最小二乘法解超定方程组x=aj(j=1,2,···,n)x的值为多少？Ex11*.给定五个观测值yj(j=–2，–1，0，1，2)写出求二次拟合函数P(t)=a0+a1t+a2t2的超定方程组系数矩阵，并求广义逆.证取拟合函数:Ex12.验证线性回归公式xx1x2··········xmyy1y2··········ymy=a+bx其中b=lxy/l

8、xx,显然Ex13.如果X*是方程组GTGX=GTb的解，则X*是超定方程组GX=b的最小二乘解证由题设,有GT(b–GX*)=0.对任意n维向量Y，故

9、

10、b–GY

11、

12、2≥

13、

14、b–GX*

15、

16、2等式仅当Y=X*时成立。所以X*是超定方程组GX=b的最小二乘解。Ex14*.最小二乘逼近与最小平方逼近的关系在区间[0，1]上取m+1个等距点(k=0，1，2，…，m)对抛物线y=x2做线性拟合.试证明当时，线性拟合函数为平方逼近问题的解。