三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

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1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法江苏省海安县曲塘镇花庄初中(226661)马金全一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知:在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5求△ABC的外接圆的半径.解:∵AB=13,BC=12,AC=5,∴AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°,∴AB为△ABC的外接圆的直径,∴△ABC的外接圆的半径为6.5.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图,在△ABC中,AB=10,∠C=100°,求△ABC外接圆⊙O的半径.(用三角函数表示)分析:利用直径构造含已知边AB的

2、直角三角形.解:作直径BD,连结AD.则∠D=180°-∠C=80°,∠BAD=90°∴BD==∴△ABC外接圆⊙O的半径为.注:已知两边和其中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图,已知,在△ABC中,AB=10,∠A=70°,∠B=50°求△ABC外接圆⊙O的半径.分析:可转化为①的情形解题.解:作直径AD,连结BD.则∠D=∠C=180°-∠CAB-∠BAC=60°,∠DBA=90°∴AD===∴△ABC外接圆⊙O的半径为.②已知两边夹一角例4如图,已知,在△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=60°求△ABC外接圆⊙O

3、的半径.分析:考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解:作直径AD,连结BD.作AE⊥BC,垂足为E.则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°,CE=AC=1,AE=,BE=BC-CE=2,AB==∴AD===∴△ABC外接圆⊙O的半径为.③已知三边例5如图,已知,在△ABC中,AC=13,BC=14,AB=15求△ABC外接圆⊙O的半径.分析:作出直径AD,构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE,利用相似三角形就可以求出直径AD.解:作直径AD,连结BD.作AE⊥BC,垂足为E.则∠DBA=∠CEA=90°,∠D=∠C∴△ADB∽△ACE∴设CE=x,∵AC2

4、-CE2=AE2=AB2-BE2∴132-x2=152-(14-x)2x=5,即CE=5∴AE=12∴AD=∴△ABC外接圆⊙O的半径为.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c求△ABC外接圆⊙O的半径.解:可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r,则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r,∴(a-r)+(b-r)=c,∴r=,即△ABC外接圆⊙O的半径为.2、一般三角形①已知三边例7已知:如图,在△ABC中,AC=13,BC=14,AB=15求△ABC内切圆⊙O的半径r.分析:考虑先求出△ABC的

5、面积,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解:利用例5的方法,或利用海伦公式S△=(其中s=)可求出S△ABC=84,从而AB•r+BC•r+AC•r=84,∴r=4②已知两边夹一角例8已知:如图,在△ABC中,cotB=,AB=5,BC=6求△ABC内切圆⊙O的半径r.分析:考虑先通过解三角形,求出△ABC的面积及AC的长,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解:作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD=3,CD=2,AC=,因为AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD,可求得r=③已知两角夹一边例9已知:如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,BC=6求

6、△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)分析:思路方法同上,读者可完成.总之,只要通过边、角能确定三角形,就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.

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