数学实验第六次讲稿 (2).ppt

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1、数学实验第六讲——非线性规划1实验目的1.学习建立更复杂优化问题的非线性规划模型;2.理解非线性规划的基本概念,特别是局部最优解和整体最优解;3.掌握使用MATLAB优化工具箱求解非线性规划的方法；4.体验建立实际问题的非线性规划模型及求解的过程；21952年美国经济学家Markowitz用概率统计的方法，将收益视作随机变量，用它的方差作为风险的指标，建立了完整的组合投资理论，于1990年获得诺贝尔经济学奖。引例3组合投资问题的描述:设有8种投资选择:5支股票,2种债券,黄金.投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据(见下页表),投资者

2、应如何分配他的投资资金,即需要确定这8种投资的最佳投资分配比例.引例x1+x2+…+xn=1,xi0问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单位，用于第i项投资的资金比例为xi,X=(x1,x2,…,xn)称为投资组合向量.显然有4项目年份债券1债券2股票1股票2股票3股票4股票5黄金1973.075-.058-.148-.185-.302.023-.149.6771974.084.020-.265-.284-.338.002-.232.7221975.061.056.371.385.318.123.354-.2601976.

3、052.175.236.266.280.156.025-.0401977.055.002-.074-.026.093.030.181.2001978.077-.018.064.093.146.012.326.2951979.109-.022.184.256.307.023.048.2121980.127-.053.323.337.367.031.226.2961981.156.003-.051-.037-.010.073-.023-.3121982.117.465.215.187.213.311-.019.0841983.092-.015.

4、224.235.217.080.237-.1281984.103.159.061.030-.097.150.074-.1751985.080.366.316.326.333.213.562.0061986.063.309.186.161.086.156.694.2161987.061-.075.052.023-.041.023.246.2441988.071.086.165.179.165.076.283-.1391989.087.212.316.292.204.142.105-.0231990.080.054-.032-.062-.170

5、.083-.234-.0781991.057.193.304.342.594.161.121-.0421992.036.079.076.090.174.076-.122-.0641993.031.217.100.113.162.110.326.1461994.045-.111.012-.001-.032-.035.078-.0105引例收益和风险每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似.设rjk代表第j种投资在第k年的收益率.则预计第j种投资的平均收益率为6Markowitz风险的定义:收益的波动程度

6、,可用样本方差(历史方差)来度量,为引例7投资组合X=(x1,x2,…,xn)在第k年的收益率为:投资组合X=(x1,x2,…,xn)的风险为:投资组合X=(x1,x2,…,xn)的平均收益率为:引例8双目标:最大化利润,最小化风险s.t.x1+x2+…+x8=1,xi0,i=1,2,…,8组合投资引例9化为单目标:模型1:控制风险最大化收益模型2:固定赢利，最小化风险10化为单目标:模型3:对收益和风险加权平均(01)组合投资引例3个模型均为非线性规划模型。11投资选择问题某公司在一个时期内可用于投资的总资本为b万元,可供选择的项

7、目有n个。假定对第i个项目的投资总额为ai万元，收益总额为ci万元。问如何确定投资方案，使总的投资利润率(收益占总投资的比例)达最高？设决策变量为：引例对第i项目进行投资不对第i项目投资12数学模型非线性整数规划问题。收益占总投资的比例引例b:总资本ai:第i个项目的投资额ci:第i个项目的收益13基本概念例如：非线性规划模型的一般形式14特殊情形1）无约束2）二次规划基本概念15多峰函数，存在局部最大(小)和整体最大(小)函数曲面图形图形解释基本概念16图形解释可行域,可行解,等值线,最优解基本概念可行域等值线最优解17图形解释有效约束非

8、有效约束可行方向下降方向最优解基本概念s.t.18可行域g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0思考:1）与线性规划的可行域有什么区别？2）最优解是否一定在边界上达到？3）求解