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1、数列好题赏析1、设数列{}的前n项和为,点的图象上。（1）求数列{}的通项公式；（2）设对所有都成立的最小正整数m.解：（1）依题意得…………………………2分当时，……①当时，适合①式，所以，…5分（2）由（1）得知故…9分因此，使成立的，必须且仅须满足，即，…………………………………………………………………………11分所以满足要求的最小正整数为10。……………………………………………13分2、已知数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设（3）设是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。解：（1）……………………5分（2）………………
2、……10分（3）由（1）可得则……………………12分由Tn为关于n的增函数，故，于是欲使恒成立则∴存在最大的整数m=7满足题意…………………………14分第-10-页共10页3、已知为正项数列的前项和，且满足.（I）求；（II）求数列的通项公式；（III）函数，数列的通项公式为前项和为，若时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（I）（II）（III），又，由得4、数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，设为数列的前项和，若≤对一切恒成立，求实数的最小值.解：（1）当时，,不成等差数列。（2分）当时，，∴，∴，∴（5分）∴（6分）（2）（1
3、0分）第-10-页共10页≤，∴≤（11分）∴≥又≤，∴的最小值为（14分）5、设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．(Ⅰ)求；（Ⅱ）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；（III）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．【解】（Ⅰ）由题设，①…………………1分由①，时，②………………2分①②得，…………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知化简得：…………………………7分为等差数列，………………………9分（III）由（Ⅱ）知为数列的前项和，因为，所以是递增的，.……………………………………………12分所以要满足，，所以
4、的最大值是.………14分第-10-页共10页6、已知等差数列满足：。数列的前n项和为（1）求数列和的通项公式；（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。（1）设数列的公差为，由，得，得．……………………………………2分由数列的前和为可知，当时，，当时，，当时，得，故数列的通项公式为,的通项公式为．………………6分（2）假设存在正整数使不等式成立，即要满足,由，，所以数列单调减，数列单调增，…………………8分①当正整数时，，所以不成立；………………10分②当正整数时，，所以成立；………………………………12分③当正整数时，，
5、所以不成立.综上所述，存在正整数时，使不等式成立.………………14分7、设数列的前项和为，且，其中；（１）证明：数列是等比数列。（２）设数列的公比，数列满足，（求数列的通项公式；（３）第二问成立的条件下，记，，求数列的前项和为；第-10-页共10页（1）由，相减得：，∴，∴数列是等比数列（2），∴，∴是首项为，公差为1的等差数列；∴∴（3）时，，∴，∴，①②②-①得：，∴，所以：8、已知数列，是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运
6、用数学知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）是等比数列．2分证明：设的公比为，的公比为，则，故为等比数列．5分（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．第-10-页共10页由条件得，即．7分故对，，…，．于是将代入得，，．10分从而有．所以数列的前项和为．12分9、已知点N)都在函数的图象上.(Ⅰ)若数列是等差数列,求证数列为等比数列；(Ⅱ)若数列的前项和为=,过点的直线与两坐标轴所围成三角形面积为,求使对N恒成立的实数的取值范围.解:(Ⅰ)因为数列是等差数列,故设公差为,则对N恒成立.依题意,.由,所以是定值,从而数列是等比数列.…………5分(Ⅱ)当时,,当时,,当时也适
7、合此式,即数列的通项公式是.第-10-页共10页由,数列的通项公式是.……………8分所以,过这两点的直线方程是,该直线与坐标轴的交点是和..……………11分因为.即数列的各项依次单调递减,所以要使对N恒成立,只要,又,可得的取值范围是.故实数的取值范围是.…………14分10、设是函数的图象上任意两点，且（O为坐标原点），已知点的横坐标为（1）求证：点的纵坐标为定值;（2）若，其中求;（3）已知其中为数列的前项和，若对于一切都成立,试求的取值范围.19．解：（1）∵，点的横坐标为，∴，-------2分点的纵坐标（2
