巧建坐标系妙解向量题.doc

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1、巧建坐标系妙解向量题江苏省南通市通州区石港中学高志军平面向量是高中数学中重要的、基本的内容，是高考重点考查的知识.平面向量既具有代数的特征，又具有几何的特征.有些平面向量问题主要是以向量几何特征呈现命题的，我们同学在解题时，常局限于向量几何层面上去理解进行解题.虽然这种思路能够解决问题，但有时运算较复杂，给快速顺利完成解题造成一定的困难.如果能洞察平面向量具有代数、几何的二重性，通过巧妙建立平面直角坐标系，构建代数与几何联系的桥梁，以形思数，以数解形，解题则会事半功倍.ABCEFD图1题型一：求平面向量数量积的值.给定平面几何图形，求出有关平面向量数量积的值.例1、（2012年普通高等

2、学校招生全国统一考试江苏卷第9题）如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是．从部分2012届高考考生中了解，一般采用解法一和解法二.解法一：根据平面向量数量积的定义，增设有关角，结合图形完成解题.由，得，由矩形的性质，得.∵，∴，∴.∴.记之间的夹角为，则.又∵点E为BC的中点，∴.∴.解法二：根据平面向量线性运算和数量积的运算法则，进行化归.由得，..ABCEFDxy图2以上两种解法紧扣平面向量几何特征进行，思维密度高，化归目标意识强.5在高考紧张的心理状态下，顺利解题显得比较困难.如果我们能根据题设条件，巧建直角坐标系，则问题解决就十分自然流畅.解法

3、三：建立直角坐标系.以分别为横轴和纵轴建立如图2所示的直角坐标系.则A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），E（，1）.设F（,2）.，，由，有得=1.，而，RMDOBCAETE图3==.例2、如图3，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中在矩形的边上，且为的中点，则.此题是笔者在对2012届高三进行复习时的一道练习题，全班51名学生仅有16人做到正确答案.为什么正答率这样低？原因有二，RMDOBCAETExy图4其一，学生仅结合图形对进行线性运算，难度较大；其二，是不能巧妙建立直角坐标系.习性上是以为轴、为轴建立直角坐标系.这样，解题较繁，造成解题失败.事实上，解题突破

4、的关键是“5个边长均为1的小正方形”，应以正方形的边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系.解：以A为原点，AD为轴，建立如图4所示的直角坐标系.则，A（0，0），B（2，-1），C（3，1），D（0，2），E（0，1）（0，1）+（1，2）=（1，3），（-2，3）.（1，3）·（-2，3）=7.题型二：三角形的面积问题.这类问题常给出三角形中一些向量关系，求有关三角形面积之比或三角形面积的最值.例3、已知中，，平面上有一点满足=2，，则面积的最大值是.对于此题，我们同学常常根据题设条件，由向量的线性运算性质，寻找一些基本关系，设变量，构造三角形面积的相应代数式，进行求解，形成了解法一.剖

5、析条件“”，知是等腰三角形，可以建立适当的直角坐标系进行求解，形成了解法二.解法一：==，5==.ACBP图5.点在线段上,且，如图5.设=，在中，由余弦定理得，==，=.====ACBPxyo图6当时，面积的最大值是.解法二：以BC为轴，BC的中垂线为轴，建立如图6所示的直角坐标系.∵，设B（-，0），C（，0），A（0，）.==.∵=2，，即.=.面积的最大值是.例4、已知点在所在平面内，若，求与的面积的比值.ACBPxy图7我们同学在解决此题时，常感到无从下手，往往采用特殊化的方法，即将看成等边三角形进行解题.这种特殊化的方法一般只限于解填空题.此题解题的关键是巧妙建立直角坐标系

6、.注意到两个与有一个公共边，我们可以为原点，为轴建立直角坐标系.解：以为原点，为轴建立如图7直角坐标系.设，，.由得，2+3+4=3，5即=，=，即=..题型三：求平面向量数量积的取值范围.已知平面几何图形有关动点，求相应动向量数量积的取值范围.ACBDxyoMN图8例5、已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，求的取值范围.解：以为原点，平行于直线的直线为轴，建立如图8所示的直角坐标系.设，.则，即.设.则==2+.ACPB图9又∵，.的取值范围是.例6、如图9，是边长为2的等边三角形，是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，ACPBxyo图10求最小值.解：

7、以AB为轴，AB的中垂线为轴，建立如图所示的直角坐标系.则，，.点在圆上.设.则====,5∵，当时，最小值是1.平面向量的数量积是高考的C级要求，涉及平面向量的加法、减法及数乘运算，常常采用线性运算和坐标运算的思路解决问题.试题一般在非直角坐标系的状态下给出的，我们同学往往选择线性运算解题，这样，有时难度较大.如果能根据题设条件，巧妙建立直角坐标系，将线性运算转化为坐标运算，则解题就简单得多了.5