【点集拓扑学】§2.2 拓扑空间与连续映射.ppt

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1、§2.2　拓扑空间与连续映射我们遵循前一节末尾提到的思路，从开集及其基本性质(定理2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.定义2.2.1　设X是一个集合，是X的一个子集族.如果满足如下条件：(l)X,∈；(2)若A，B∈　，则A∩B∈；(3)若,有,则称是X的一个拓扑,称偶对(X，)是一个拓扑空间,的每一个元素都叫做拓扑空间(X，)或X中的一个开集.即：A∈A是开集.(此定义与度量空间的开集的性质一样吗)现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.定义2.2.2　设(X，ρ)是一个度量空间.令为由X中的所有开集构成的集族.根据定理2.1.2，(X，)是X的一个拓扑.称为X的由度量ρ诱

2、导出来的拓扑.如果没有另外的说明，我们提到度量空间(X，ρ)的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间(X，ρ)为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X，)例2.2.1平庸空间.设X是一个集合.令={X，}.容易验证，是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X，)为一个平庸空间.在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即X本身和空集.例2.2.2离散空间.设X是一个集合.令=P(X)，即由X的所有子集构成的族.易证，是X的一个拓扑，称为X的离散拓扑；在离散空间(X，)中，X的每一个子集都是开集.例2.2.4有限补空间.设X是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础

3、集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为.令={U易验证是X的一个拓扑。X

4、是X的一个有限子集}∪{}一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3设(X，P)是一个拓扑空间.如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称(X，P)是一个可度量化空间.满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.定义2.2.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y.如果Y中每一个开

5、集U的原象(U)是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续.按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发.下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质.定理2.2.1设X，Y和Z都是拓扑空间.则(1)恒同映射：:X→X是一个连续映射；(2)如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gf:X→Z也是连续映射.定义2.2.5设X和Y是两个拓扑空间.如果f：X→Y是一个一一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚.定理2.2.2设X，Y和Z都是拓扑空间.则(1)恒同映射：X→X是

6、一个同胚；(2)如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；(3)如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gf：X→Z也是一个同胚.定义2.2.6设X和Y是两个拓扑空间.如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y.粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间.定理2.2.3　设X，Y和Z都是拓扑空间.则(1)X与X同胚；(2)如果X与Y同胚，则Y与X同胚；(3)如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚.拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是

7、一个拓扑不变性质.换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.作业：P552,5,6,8,9,10