初高中衔接教材2013最新编辑.doc

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1、第一章数与式的运算1.1实数的分类及其基本性质【知识梳理】有理数都可以写成有限小数(包括整数)或无限循环小数的形式；都可以表示成分数(p、q是互质的整数，q≠0)．反之，能表示成(p、q是互质的整数，q≠0)形式的数都是有理数．无理数是无限不循环小数，不能写成(p、q是互质的整数，q≠0)的形式．有理数与无理数统称为实数，具体分类如下：实数的基本性质：1．无界性：没有最大的实数，也没有最小的实数．2．稠密性：任何两个实数之间有无数多个实数．3．连续性：全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．4．有序性：任何两

2、个实数都可以比较大小．给定两个实数a、b，则a>b、a=b、a

3、的运算满足交换律、结合律、分配律．【例题讲解】【例1】下列各数：1、、–3、π+1、、0.12113111411115…、、2+、中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？【解】以上各数中为整数的是：1、–3、、；为有理数的是：1、–3、、、；为无理数的是：、π+1、0.12113111411115…、2+．【例2】若x是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件．(1)–x<0；(2)2x是偶数；(3)–

4、x

5、<0；(4)x+3>x；(5)(–x)2=–x2；(6)3x>2x．【解】(1)不对，当x>

6、0时成立；(2)不对，当x是整数时成立；(3)不对，当x≠0时成立；(4)对；(5)不对，当x=0时成立；(6)不对，当x>0时成立．【例3】比较下列各组数的大小．(1)2与3；(2)+与+2．【解】(1)因为2=，3=，因为<，所以2<3．(2)因为(+)2=7+2，(+2)2=7+4=7+2，因为7+2<7+2，所以+<+2．【说明】在实数集中，对于任意实数a与b，必存在a>b，a=b，a

7、右边的点表示的数比左边的点表示的数大来进行判断；还可以把实数化成小数后进行判断．另外还有“比差法”与“比商法”等．【例4】若3+a=2b–，求有理数a和b的值．【解】因为3=2b，a=–，所以a=–，b=．【说明】设p为无理数，a、b、c、d为有理数，且b≠0，d≠0，，若a+bp=c+dp，则必有a=c，b=d．【例5】求无理数π的纯小数部分．【解】因为3<π<4，所以π是整数3与一个小于1的正小数(即纯小数)的和，所以π的纯小数部分为π–3．【说明】无理数是无限不循环小数，每一个无理数都能写成一个整数与

8、一个小于1的正的纯小数之和的形式．【练习1.1】1．下列各数：–2、、0.35、、、π、0.12112111211112…、、2–中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？2．若a是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件．(1)–a2<0；(2)2a+1是奇数；(3)

9、a

10、>0；(4)a–2

11、a

12、与

13、b

14、的大小；(2)若a

15、b

16、、a–b的大小．5．求无理

17、数的纯小数部分．6．已知(2a–1)2=9，求a的值．7．写出绝对值小于的所有整数．8．设a、b是正有理数且(a+)a+(b–)b=25+，求a、b的值．1.2绝对值及其几何意义【知识梳理】数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．其代数意义就是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0．即：．

18、a

19、的几何意义是数轴上表示数a的点与原点间的距离．

20、a–b

21、的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点间的距离．绝对值有如下运算性质：(1)

22、ab

23、=

24、a

25、

26、b

27、；(2)(b≠0

28、)；(3)

29、

30、a

31、–

32、b

33、

34、≤

35、a+b

36、≤

37、a

38、+

39、b

40、；左边的等号当且仅当ab≤0时取到，右边的等号当且仅当ab≥0时取到；(4)

41、

42、a

43、–

44、b

45、

46、≤

47、a–b

48、≤

49、a

50、+

51、b

52、；左边的等号当且仅当ab≥0时取到，右边的等号当且仅当ab≤0时取到．【例题讲解】【例1】化简：(1)

53、2x–1

54、；(2)

55、x–1

56、+

57、x–3

58、．【解】(1)本题分2x–1≥0、2x–1<0两种情况讨论：1o当x≥时，2x–1≥0，原式=